3.1.2 导数的概念教案2

《导数的概念》教学设计

四川省广安恒升中学校 杨力

一、内容和内容解析

（一）内容

导数的概念

（二）内容解析

导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度．导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用．导数概念是我们今后学习微积分的基础．同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具. 教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的．教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习．所以，让学生通过学习导数这个特殊的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础．另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数．

二、学生学情分析

1. 有利因素：学生在上节课借助高台跳水和气球膨胀率问题学***均变化率，本节课继续以高台跳水问题为背景，进行从平均速度到瞬时速度、从瞬时速度到导数的学习，并为即将学习的导数的几何意义、导数的有关计算以及导数的应用等知识做铺垫了大量的关于函数变化率的经验；另外，正一中学学生思维比较活跃，对数学新内容的学习，有相当的兴趣和积极性，这为本课的学习奠定了基础． 2. 不利因素：导数概念建立在极限基础之上，超乎学生的直观经验，抽象度高；再者，本课内容思维量大，对类比归纳，抽象概括，联系与转化的思维能力有较高的要求，学生学习起来有一定难度题基本思想．

三、目标和目标解析

1．使学生认识到：当时间间隔越来越小时，运动物体在某一时刻附近的平均速度趋向于一个常数，并且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度；

2．使学生通过运动物体瞬时速度的探求，体会函数在某点附近的平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此建构导数的概念；

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3．掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤；

4．通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验；

5．通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程．

上述目标中，目标1是形成概念的基础，它提供了一个具体的导数模型．目标2是教学

重点，是本节课要花近一半时间去完成的目标．目标3体现了算法思想，这是教学中应该充分重视的方面．目标4和5体现了数学育人的重要价值．

四、教学问题诊断分析

要使学生能通过观察发现运动的物体在某一

时刻的平均速度的极限是一个不变的常数，而且这个常数就是物体在这一时刻的瞬时速度，一个非常难突破的问题就是大量平均速度的计算问题．为解决这个问题，在教学时为每个学生准备一台Ti－nspire CAS图形计算器，利用这种计算器的CAS功能，可以在较短的时间内解决计算问题，

从而使学生有更多的时间用于观察与发现．

另外，从具体的模型中提炼出一般的概念的困难在于

具体模型的数量，因此，设计本节课的教学时，在教材的基础上增加了计算跳水运动员瞬时速度的数目，以此大大方便了学生归纳与概括．

五、教学策略分析

本节课在教学方法的选择上，充分尊重学生认知

事物的基本规律，强调教师的启发与学生的参与度，给学生操作感知、观察发现的时间充分．由于技术的介入，

大大方便了学生获得导数概念的表象，因此学生通过表象抽象出导数概念的过程自然到位，并且能帮助学生更准确地理解导数的本质．

六、教学支持条件分析

根据本节课的内容特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，教学过程中可充分发挥信息技术的作用，体现平均速度与瞬时速度，瞬时变化率与导数之间的联系，更好的分析这个过程，用逼近的方法去解决导数概念的问题

七、教学过程

（一）

引入新课

师：同学们2017年应该有很多精彩的瞬间，下面我们一起来回顾两个精彩的画面。一起看视频，这是4月22号天舟一号和天宫二号成功对接的现场画面，那么它们在运

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行的过程中，它们的速度都会急剧的变化，要想对接成功，我们必须研究它们每时每刻的速度，再来看第二个视频这是今年十三届全运会上一名施廷懋的完美一跳，她是巴西奥运会会上获得两块金牌的运动员，为我们国家赢得了荣誉，获得了冠军，关于调水问题，上节课我们就提到了一个问题

回顾上节课中的探究问题

在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系ht4.9t26.5t10. 65这段时间里的平均速度，思考下面的问题：

计算运动员在 0t49师：运动员在这段时间里是静止的吗？

生：不是。

师：你认为用平均速度描述运动员的运动状态符合实际吗？ 生：不符合实际。

师：看来平均速度不能够描述运动员在每一时刻的速度，尤其在训练的过程中，我想要提高他的成绩，肯定关键时刻的速度是我们所需要知道的，比如他的起跳速度、他的落水速度，那么物体在某一时刻的速度我们称为：瞬时速度。

师：对瞬时速度的研究，需要对导数进行研究，这就是我们今天要研究的课题：导数的概念。

师：如何求运动员在t2时刻的瞬时速度？

（二）初步探索 t2时刻的瞬时速度

师：问题一：请大家思考如何求运动员在t2时刻的瞬时速度？

师：要求：小组讨论如何求出t2时的瞬时速度. 【设计意图】学生在上节课已经知道x这个符号的含义，在这里不难想到用t来表示时间的改变量，并给出科学的t的取值. 师：问题二：当t0.01、t0.001、0.0001…t0.01、t0.001…时h2th2v

t

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的值是多少？

h2th2师：要求学生用计算器进行计算出v的值，并进行小组展示. t【设计意图】学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，学生利用计算器，分组完成问题二，有利于培养学生的动手操作能力同时激发他们的求知欲. 师：问题三：观察数据，当t趋近于0时，平均速度有怎样的变化趋势？

在各组计算出结果后，用幻灯片展示，并给出更多t趋于0时v的值. 引导学生观察数据并得出结论: 当时间间隔t无限变小时，平均速度v就无限趋

近于t2时的瞬时速度.因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s. f2tf2lim13.1来表示.（总结归纳：告诉学生为了表述方便，用符号t0t该符号的写法、读法、含义）

【设计意图】让学生第一次利用体会逼近的思想完成问题三. (三)深入探究: t0时刻的瞬时速度

师：问题四：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示呢？

师：小组讨论：运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示，学生意识到将t0代替2，可类比

ft0tft0lim得到

t0t【设计意图】第二次体会逼近的思想，并用特殊与一般的思想得到t0时刻的瞬时速度.这是学生思维的一次提升. （四）形成概念

师：问题五：如果将跳水问题中的函数用的瞬时变化率如何表示？

学生通过体会t2、tt0时刻瞬时速度的共同特征，不难概括出函数处的瞬时变化率的表示方法，给出导数的概念：

4 fx来表示，那么函数fx在xx0

处fx在xx0

生：学生简单描述导数的概念

师：一般地，函数fx在xx0

处的瞬时变化率limf(x0x)f(x0)ylim，x0xx0x''我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作：fx0

或y|xx0，

'即fx0limx0f(x0x)f(x0)ylim

xx0x【设计意图】再次通过类比，抛开问题的实际意义，抽象为数学问题，来定义导数，这是学生思维的又一次上升. （五）典例精析

1例1、物体自由落体的运动方程是s(t)＝gt2(g＝9.8 m/s2)，求物体在t＝3 s这一2时刻的瞬时速度

【设计意图】在学生建立起导数概念后，明确用定义求导数的方法之后,进行强化训练, 渗透算法思想，加深对导数概念的理解，强化对重点知识的巩固.

例2、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果第xh时，原油的温度（单位：o2C）为fxx7x150x8. 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

该例题中第2h时原油温度的瞬时变化率的求解过程用幻灯片演示，然后让学生在练习本上独立完成第6h时原油温度的瞬时变化率的解答过程，选一名学生板演. 【设计意图】导数概念的形成由一个实际问题开始，又将其应用于实际问题，前后呼应；同时让学生第三次体会逼近的思想. (六)练习巩固

比一比:计算第3h和第5h时原油温度的瞬时变换率，并说明它们的意义.

此环节几个小组进行比赛，比一比哪组最先完成. 【设计意图】这样做，既能达到巩固了导数的概念的目的，又调动了学生的积极性.

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(七)归纳总结

知识方面：瞬时变化率的求法及导数的概念和求法

思想方法：逼近的思想、特殊与一般的思想、类比的方法. 【设计意图】由学生总结这节课所学的主要知识和方法，可以加深对导数概念的理解.

(八)作业布置

必做：第79页习题A组第2、3、4 题

选做：思考第80页习题B组第1题

预习： 3.1.3导数的几何意义

【设计意图】为了让不同层次的学生都有收获，我设计了必做题和选做题. 八、板书设计

§3.1.2导数的概念

导数的概念：

一般地，函数y板书设计

（投影屏幕）

fx在xx0处的瞬时变化率是

fx0xfx0ylimlim，

x0xx0x我们称它为函数在xx0处的导数，

记作f'x0或y'xx，

0fx0xfx0ylimlim即fx0=

x0xx0x'九、评价反思

这节课是数学概念的教学课.数学概念本身比较抽象，导数的概念就更为抽象.为了便于学生对导数概念的理解，我通过实例，设置环环相扣的问题，让学生体验“逼近”的思想，并运用类比的方法，引导学生分析和归纳，从而达到概念的自然形成，最后又将归纳出的数学概念应用到实际问题中，首尾呼应，这样做学生不会感到突兀，并且能进一步感受到数学来源于生活，又高于生活.

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