3.4 生活中的优化问题举例教案设计（一等奖）

课题：生活中的优化问题举例

一、学习目标、重难点说明：

1、教学目标：

（1）使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用

（2）提高将实际问题转化为数学问题的能力

2、教学重点、难点：

（1）教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题

（2）教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题

二、学习活动组织：

（一）学习任务一：复习利用导数判断函数的单调性以及求函数最值的方法。

（二）学习任务二：探究解决优化问题的方法

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；

2、与物理学有关的最值问题；来源学*科*网Z*X*X*K]

3、与利润及其成本有关的最值问题；

4、效率最值问题。

学生活动（1）：探究解决优化问题的方法：

总结：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

学生活动（2）:探究利用导数解决优化问题的基本思路：

总结：

优化问题

建立数学模型

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

1

（三）学习任务三：利用导数求利润最大：

例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是 0.8r2分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利

0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

学生活动1：学生观看例题，了解解题思路及步骤：

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

4

yfr0.2r30.r823r320.8r3r,0

62令fr0.8(r2r)0

解得

r2（r0舍去）

当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm

时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm

时，利润最小．

（四）学习任务四：例题

学生活动1：学生观看例题，了解解题思路及步骤：

【例题1】

海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向

2

张贴的海报，要求版心面积为128dm,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何

设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？

分析：先建立目标函数，然后利用导数求最值. 2128dm,此时四周空白面积为

x1285122)1282x8,x0。

S(x)(x4)(xx

解：设版心的高为xdm，则版心的宽为

求导数，得

512。

2x512'令S(x)220，解得x16(x16舍去）。

x1281288。

于是宽为x16S'(x)2当x(0,16)时，S'(x)<0；当x(16,)时，S'(x)>0. 因此，x16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，

宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。

学生活动（2）：在课本例1中，“x16是函数Sx的极小值点，也是最小值点。”为什么？是否还有别的解法？

探究：在实际问题中，由于f'x=0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小

256256824x8232872。

xx）值在x的变化区间内部得到，则这个根处的极大（小）值就是所求函数的最大（小）值。

由课本例1可得，S(x)4x当且仅当4x

256128,即x8(x0)时S取最小值，此时y=16。

x8学生活动3：做练习题

1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．（高为1.2 m，最大容积1.8m）

（五）学习任务五：总结

学生活动：对本节课所学内容总结：

材料：用导数求解优化问题的基本步骤：

（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量y与自变量x，把实际问题3

3

转化

为数学问题，列出适当的函数关系式yfx，并确定函数的定义区间；

（2）求f'x，解方程f'x0，得出所有实数根；

（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值

学习任务六：作业：课本

练习课本P104

课程达标训练（3）

一，选择题

1、函数f(x)在xx0处导数f'(x0)的几何意义是(

D

)

A. 在点xx0处的斜率；

B. 在点

( x0，f

( x0 ) ) 处的切线与x轴所夹的锐角正切值；

C. 点

( x0，f

( x0 ) ) 与点

(0 , 0 ) 连线的斜率；

D. 曲线yf(x)在点

( x0，f

( x0 ) ) 处的切线的斜率. 2．曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为(

B

) A．30°

C．60°

B．45°

D．120°

3.下列四组函数中导数相等的是（ D ）

A.f(x)1与f(x)x B.f(x)sinx与f(x)cosx[来

C.f(x)1cosx与f(x)sinx D.f(x)12x2与f(x)2x23

4.对任意的x，有f(x)4x3,f(1)1,则此函数解析式可以为（

B

）

A.f(x)x4

B.f(x)x42

C.f(x)x41

D.f(x)x4

5．已知函数f(x)A．1

52f(1)f(1x)xlnx，则lim(

B

) x033x45B．1

C．

D．

332156．已知函数f(x)＝－x－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为4，则a等

4

于(

C

) 3A．－2

1C．－2

1B.2

13D．－2或－2

7、函数yx33x21在点1,1处的切线方程为（B

）

A.y3x4

二，填空题

B.y3x2

C.y4x3

D.y4x5

8、函数f(x)2x33x25x4的导数f(x)

6x26x5

，

f(3)

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9．已知函数f(x)＝x3＋ax在R上有两个极值点，则实数a的取值范围是________．

答案

(－∞，0) 三、解答题:（第1题14分；第2题12分）

10、已知函数f(x)axbxcx在点x0处取得极大值5，其导函

数yf'(x)的图象经过点(1,0)，(2,0)，如图所示. 求x0的值和a,b,c的值.

1. 解：f'(x)3ax2bxc，———————————————————2分

232x01,xo1,f(1)5,abc5,依题意，得

即f'(1)0,3a2bc0,f'(2)0,12a4bc0,——————————8分

xo1,a2,解得——————————————————————————4分

b9,c12,∴x0=1，a2,b9,c12.

5

说明、证明过程或演算步骤) 11．(10分)求函数f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]的最值．

解

f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2) ＝3(x－1)2＋3>0，

∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，

∴f(x)在[－1,1]上为增函数．

故x＝－1时，f(x)min＝－12；

x＝1时，f(x)max＝2. 即f(x)的最小值为－12，最大值为2.

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