小结教学目标设计

椭圆、双曲线复习

教案

一、教学目标：

1. 知识与技能：

（1）通过复习理解曲线与方程的关系，会利用曲线的图象去求出曲线的方程的联系. （2）根据具体的例子理解椭圆的概念与性质、双曲线的概念与性质

（3）从具体的例子中去理解直线与圆锥曲线的位置关系。

2. 过程与方法

学生通过观察和类比，借助具体的例子理解各种曲线的特点与几何性质. 3. 情态与价值观

提高学生的数学文化素养，教师应引导学生通过查阅、收集、整理、分析相关材料，增强信息处理的能力，培养探究精神，提高数学素养. 二、教学重点.难点

重点：椭圆、双曲线的定义、方程和几何性质；坐标法的应用. 难点：椭圆、双曲线的标准方程的推导过程；利用定义、方程和几何性质求有关焦点、焦距、准线等. 三、学情分析

通过《圆锥曲线》的学习，学生初步掌握了椭圆、双曲线的定义，几何图形，标准方程及简单性质，学生需要更深入的的理解圆锥曲线的定义及圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

四、教学方法

通过观察、类比、思考、交流和讨论等.五、教学过程

名

称

椭 圆

y双

曲 线

y

图

象

OxOx

平面内到两定点F1,F2的 平面内到两定点F1,F2的距离的和

定

义

为常数（大于F1F2）的动点的轨迹叫椭圆即MF1MF22a

当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，

当2a=2c时，轨迹是一条线段距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线即MF1MF22a

当2a﹤2c时，轨迹是双曲线

当2a=2c时，轨迹是两条射线

当2a﹥2c时，轨迹不存在

F1F2

当2a﹤2c时，轨迹不存在

标准方

程

常数x2y2焦点在x轴上时：

221 aby2x2焦点在y轴上时：221 ab注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上

焦点在x轴上时：x2y221 2ab焦点在y轴上时：y2x221

2abc2a2b2，ca0

222 acb，ab0，

a,b,c a最大，cb,cb,cb

的关

系 c最大，可以ab,ab,ab

焦点在x轴上时：xay0 bx0

b渐近线

焦点在y轴上时：ya1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹

x2y2y2x22．椭圆的标准方程：221，221

（ab0）

ababx2y23．椭圆的性质：由椭圆方程221(ab0) ab(1)范围: axa,byb，椭圆落在xa,yb组成的矩形中．

(2)对称性:图象关于y轴对称．图象关于x轴对称．图象关于原点对称原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x轴、y轴叫椭圆的对称轴．从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距

（3）顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点

椭圆共有四个顶点：

A(a,0),A2(a,0)，B(0,b),B2(0,b)加两焦点F1(c,0),F2(c,0)共有六个特殊点A1A2叫椭圆的长轴，B1B2叫椭圆的短轴．长分别为2a,2b

a,b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点

(4)离心率:

椭圆焦距与长轴长之比eb2ce1()0e1

aa椭圆形状与e的关系：e0,c0，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在e0时的特例e1,ca,椭圆变扁，直至成为极限位置线段F1F2，此时也可认为圆为椭圆在e1时的特例

4．双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的轨迹叫双曲线

即MF1MF22a

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距

在同样的差下，两定点间距离较长，则所画出的双曲线的开口较开阔（两条平行线）两定点间距离较短（大于定差），则所画出的双曲线的开口较狭窄（两条射线）双曲线的形状与两定点间距离、定差有关

5．双曲线的标准方程及特点： （1）双曲线的标准方程有焦点在x轴上和焦点y轴上两种：

x2y2 焦点在x轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0)；

aby2x2焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：221(a0,b0) ab6.a,b,c有关系式cab成立，且a0,b0,c0[来源:学_科_网Z_X_X_K]

其中a与b的大小关系:可以为ab,ab,ab

222

7.焦点的位置:从椭圆的标准方程不难看出椭圆的焦点位置可由方程中含字母x、y2项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上

8．双曲线的几何性质：

（1）范围、对称性

22x2y2由标准方程221，从横的方向来看，直线x=-a,x=a之间没有图象，从纵的方向来ab看，随着x的增大，y的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心

（2）顶点

顶点：A1(a,0),A2a,0，特殊点：B1(0,b),B20,b

实轴：A1A2长为2a, a叫做半实轴长虚轴：B1B2长为2b，b叫做虚半轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异

（3）渐近线

bxyx2y2过双曲线221的渐近线yx（0）

aabab（4）离心率

双曲线的焦距与实轴长的比e2cc，叫做双曲线的离心率范围：e1

2aabc2a2c22双曲线形状与e的关系：k1e1，e越大，即渐近线的斜2aaa率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

9．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e10．共渐近线的双曲线系

2

如果已知一双曲线的渐近线方程为ybkbxx(k0)，那么此双曲线方程就一定是：akax2y2x2y21(k0)或写成22 22(ka)(kb)ab六、习题

七、小结

八、自我检测

1、

离心率为2，焦点（4,0）（-4,0）的双曲线方程

2、长轴长是短轴长的3倍，过点（3,0）的椭圆方程