复习参考题教学设计第二课时

立体几何中的涉球问题探究

惠州市第一中学

陈彪

教学目标：

1.通过构建涉球问题模型，使学生理解球的几何特征，掌握补体、割体的方法，归纳解决球与多面体

内切或外接的方法与技巧；

2.培养学生转化、化归思想和建模思想；

3.培养学生独立解决问题的能力，激发学生对数学的兴趣。

教学重点：构建立体模型解决球与多面体的内切或外接问题；

教学难点：定位球心和补体的技巧；

教学对象：高一实验班

教学过程：

一、方法引领：

1.长方体的长、宽、高分别为3、2、1，则该长方体的外接球的表面积为__14__（结论法）

2.棱长为2的正四面体的外接球的体积为_____

3.棱长为2的正四面体的内切球的体积为______3______（补体法）

23_____（分割法）

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4.直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一个球面上，若ABACAA12，

BAC120，则该球的表面积等于

20

（定心法）

小结：

解决涉球问题的基本方法有：结论法、补体法、分割法、定心法等，要点是利用好球的特征（尤其是对称性），难点是：（1）如何补体？（2）如何定心？

二、模型引领：

例1：三棱锥PABC中AB,AC,AP两两互相垂直，且ABACAP3，则其外接

球的表面积是

P解：如图1，构建墙角模型，由AB,AC,AP两两互相垂直，

cAbC可将该三棱锥还原成长方体，

a

Ba2b2c29

易得r442

图1S4r29

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例2：正六棱柱的底棱长为19，体积为，则该柱体的外接球的体积为

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解：如图2，构建汉堡模型，设该柱体的外接球半径为R，

正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r，

则r131233，底面积为S6，

()2428h2RrV柱Sh33931h，h3，R2()2()21，

88224

3图2 R1，球的体积为V

例3：正四棱锥的棱长均为2，在该四棱锥的外接球的体积为

解：

法一：如图3-1：确定球心的位置，易知r1，又h1，hr，故球心在正方形ABCD的中心O处，R1，V4.

3法二：如图3-2，构建切瓜模型，大圆是轴截面的外接圆，即大圆是PAC的外接圆，

此处特殊，RtPAC的斜边AC是球的直径，2R2，R1，VP4.

3

DO'CArBD图3-1 图3-2 例4：在三棱锥PABC中，PA面ABC，PA2，ABBCCA3，

则该三棱锥的外接球的表面积为__________

解：如图4，构造线面垂直模型，由ABBCCA3

可得ABC为等边三角形，其外接圆半径r1，

1Rhr22，S4R28. 222

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图4

例5：在三棱锥ABCD中，ABCD5，ADBC13，ACBD10，

则该三棱锥的外接球的表面积为__________ 解：如图5，构建对棱相等模型，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，

a2b213列方程组b2c25(2R)2a2b2c214，

c2a210S4R214.

图5 总结：

通过上述的墙角模型、汉堡模型、切瓜模型、线面垂直模型、对棱相等模型等模型的引领，要掌握定心的基本方法和一些补体的常用技巧。

三、课堂练习：

1.. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1，图中粗线画出的是某三棱锥

的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为________．

解：11.（过程略）

2.已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，则两圆圆心的距离MN=______________

解：3.（过程略）

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