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习题课

空间几何体

【课时目标】

熟练掌握空间几何体的结构，以三视图为载体，进一步巩固几何体的体积与表面积计算．

1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面面积公式．

2．空间几何体的表面积和体积公式．

名称

表面积

几何体

柱体

S表面积＝S侧＋2S底

(棱柱和圆柱)

锥体

S表面积＝S侧＋S底

(棱锥和圆锥)

台体

S表面积＝S侧＋S上＋S(棱台和圆台)

下

球

S＝________

体积

V＝________ V＝________ V＝_________ ____________ 4V＝πR3

3

一、选择题

1．圆柱的轴截面是正方形，面积是S，则它的侧面积是(

) 1A．S

B．πS

C．2πS

D．4πS

π2．若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

) 12A．

B．

C．1

D．2 23

13．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体2的俯视图可以是(

)

4．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为(

)

A．280

B．292

C．360

D．372 5．棱长为a的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为(

) 333aaaa3A．

B．

C．

D．

3461232π6．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面相切，若这个球的体积是，则3这个三棱柱的体积是(

) A．963

B．163

C．243

D．483

二、填空题

7．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．

8．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是________cm3．

9．圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm．

三、解答题

10．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．

(1)按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；

11．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝，再用S平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)．

(1)当圆柱底面半径r取何值时，S取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0．01平方米)；

(2)若要制作一个如图放置的、底面半径为0．3米的灯笼，请作出用于制作灯笼的三视图(作图时，不需考虑骨架等因素)．

能力提升

12．设某几何体的三视图如下(尺寸的长度单位为m)．则该几何体的体积为________m3．

13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝

2，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是___________．

1．空间几何体是高考必考的知识点之一，重点考查空间几何体的三视图和体积、表面积的计算，尤其是给定三视图求空间几何体的体积或表面积，更是近几年高考的热点．

其中组合体的体积和表面积有加强的趋势，但难度也不会太大，解决这类问题的关键是充分发挥空间想象能力，由三视图得到正确立体图，进行准确计算．

2．“展”是化折为直，化曲为平，把立体几何问题转化为平面几何问题，多用于研究线面关系，求多面体和旋转体表面的两点间的距离最值等等．

习题课

空间几何体

答案

知识梳理

1．2πrl

πrl

π(r＋r′)l 112．Sh

Sh

(S上＋S下＋S上S下)h

4πR2

33作业设计

1．B

[设圆柱底面半径为r，则S＝4r2，

S侧＝2πr·2r＝4πr2＝πS．] 2．C

[由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面

1直角三角形的直角边长分别为1和2，三棱柱的高为2，所以该几何体的体积V＝×1×22×2＝1．] 3．C

[当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图1π为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，241几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为；当俯视图21π为D中扇形时，几何体为圆柱的，且体积为．] 444．C

[由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．

∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360．] 25．C

[连接正方体各面中心构成的八面体由两个棱长为a的正四棱锥组成，正四棱2a122aa3锥的高为，则八面体的体积为V＝2××(a)·＝．] 23226432π6．D

[由πR3＝，得R＝2．

33∴正三棱柱的高h＝4．

设其底面边长为a，

13则·a＝2，∴a＝43．

323∴V＝(43)2·4＝483．] 4107．

3解析

该几何体是上面是底面边长为2的正四棱锥，下面是底面边长为1、高为2的正四棱柱的组合体，其体积为

110V＝1×1×2＋×22×1＝．

338．144 1解析

此几何体为正四棱台与正四棱柱的组合体，而V正四棱台＝(82＋42＋82×42)×33＝112，V正四棱柱＝4×4×2＝32，故V＝112＋32＝144．

9．4 4解析

设球的半径为r cm，则πr2×8＋πr3×3 32＝πr×6r．解得r＝4．

10．解

(1)如图所示．

(2)所求多面体体积V＝V长方体－V正三棱锥

11284×2×2×2＝

(cm3)．

＝4×4×6－×323

9.6－8×2r＝1．2－2r，∴塑料片面积8S＝πr2＋2πr(1．2－2r)＝πr2＋2．4πr－4πr2＝－3πr2＋2．4πr＝－3π(r2－0．8r)＝－3π(r－0．4)2＋0．48π．

∴当r＝0．4时，S有最大值0．48π，约为1．51平方米．

(2)若灯笼底面半径为0．3米，则高为1．2－2×0．3＝0．6(米)．制作灯笼的三视图如图．

11．解

由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为12．4 解析

由三视图可知原几何体是一个三棱锥，且三棱锥的高为2，底面三角形的一边长11为4，且该边上的高为3，故所求三棱锥的体积为V＝××3×4×2＝4 m3．

3213．5 2 解析

将△BCC1沿BC1线折到面A1C1B上，如图．

连接A1C即为CP＋PA1的最小值，过点C作CD⊥C1D于D点，△BCC1为等腰直角三角形，

∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7．

∴A1C＝A1D2＋CD2＝49＋1＝5 2．