习题1.2优秀完整教案

空间几何体的外接球与内切球

类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径,三棱锥与长方体的外接球相同）

PPPPO2cAaBbCcCAbaBAbaBcCcBaAbC图1 图2 图3 图4

方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2a2b2c2，即2Ra2b2c2，求出R

例1 （1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）

A．16 B．20 C．24 D．32

（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 （3）在正三棱锥SABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN,若侧棱SA23,则正三棱锥SABC外接球的表面积是 。

解：引理：正三棱锥的对棱互垂直，证明如下：

如图（3）-1，取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH平面ABC，SHAB，ACBC，ADBD，CDAB，AB平面SCD，ABSC，

同理：BCSA，ACSB，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2，

AMMN，SB//MN，

AMSB，ACSB，SB平面SAC，

SBSA，SBSC，SBSA，BCSA，

SA平面SBC，SASC，故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互垂直，(2R)(23)(23)(23)36，即4R36，外接球的表面积是36

S

M

AC

NB

(3)题-2

SADB(3)题-1HEC22222（4）在四面体SABC中，SA平面ABC，BAC120,SAAC2,AB1,则该四面体的外接

球的表面积为（ ）

A.11 B.7 C.1040 D.

33（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积是

（6）已知某几何体的三视图如图上右所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，

则该几何体外接球的体积为 类型二、垂面模型（一条直线垂直于一个平面）

P1．题设：如图5，PA平面ABC

解题步骤：

OA第一步：将ABC画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，

C作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O；

ADOABCABC第二步：O1为的外心，所以OO1平面，算出小圆O1的半

B1径O1Dr（三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得

1 图5

abc12r），OO1PA；

sinAsinBsinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①(2R)2PA2(2r)22RPA2(2r)2；

r2OO1

2．题设：如图6，7，8，P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等

三棱锥PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点

R②R2r2OO1P22PPPOCAO1BDOCAO1BACOCOO1BABO1图6P 图7-1P A图7-2P 图8

AO2BODCAO2OCBO2BOD图8-3图8-2

解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；

图8-1第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R. 方法二：小圆直径参与构造大圆。

例2 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为

A．3 B．2 C．16

D．以上都不对

3 类型三、切瓜模型（两个平面互相垂直）

PPPOOABCABO1CABO1C图9-3图9-2

1．题设：如图9-1，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）

第一步：易知球心O必是PAC的外心，即PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC2r；

图9-1abc2R，求出R。

sinAsinBsinC2．如图9-2，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径）

第二步：在PAC中，可根据正弦定理22222222

OCO1CO1ORrO1OAC2RO1O

3．如图9-3，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且P的射影是ABC的外心三棱锥PABC的三条侧棱相等三棱PABC的底面ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点

2

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；

第二步：先算出小圆O1的半径AO1r，再算出棱锥的高PO1h（也是圆锥的高）；

第三步：勾股定理：OA2O1A2O1O2R2(hR)2r2，解出R

4．如图9-4，平面PAC平面ABC，且ABBC（即AC为小圆的直径），且PAAC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：

PO①(2R)2PA2(2r)22RCPA2(2r)2；

2ABO1R②R2r2OO12r2OO1

图9-4例3 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1，底面边长为23，则该球的表面积为 。

（2）正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为 （3）在三棱锥PABC中，PAPBPC3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60，则该三棱锥外接球的体积为（ ） A．

B.4

C. 4

D.

33（4）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC2;则此棱锥的体积为（

）

A．类型四、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

C1A1O2B1OCAO1BAO1OCBA1O2C1B13222B．

C．D．

66 3 2C1A1B1OCABO1O2图10-3图10-2

题设：如图10-1，图10-2，图10-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心O的位置，O1是ABC的外心，则OO1平面ABC；

图10-111AA1h（AA；

1h也是圆柱的高）22h2h2222222第三步：勾股定理：OAO1AO1OR()rRr()，解出R

22第二步：算出小圆O1的半径AO1r，OO1例4 （1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9，底面周长为3，则这个球的体积为 8（2）直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若ABACAA12,BAC120，则此且该六棱柱的体积为球的表面积等于 。

（3）已知EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EAEB3,AD2,AEB60，则多面体EABCD的外接球的表面积为 。

（4）在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB4,AC6,A球的表面积为 。

3 3,AA14则直三棱柱ABCA1B1C1的外接

五、折叠模型

题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠(如图11) 第一步：先画出如图所示的图形，将BCD画在小圆上，找出BCD和

A'ABD的外心H1和H2；

OH2ABEDH1C第二步：过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点

即为球心O，连接OE,OC；

第三步：解OEH1，算出OH1，在RtOCH1中，勾股定理：

OH12CH12OC2

例5 三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC和△ABC均为边长为2的正三角形，则三

棱锥PABC外接球的半径为 . 图11类型六、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx，ABCDy，ACBDz，列方程组，

a2b2x22x2y2z2222222，

bcy(2R)abc2c2a2z2补充：VABCDabcAxyzxBabzDycC11abc4abc

63222x2y2z2第三步：根据墙角模型，2Rabc，

2x2y2z2R，R82图12x2y2z2，求出R，

8例如，正四面体的外接球半径可用此法。

例6（1）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个

截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 . （2）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球

的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）

(1)题33333A． B． C． D． 43412（3）在三棱锥ABCD中，若ABCD2,ADBC3,ACBD4,则三棱锥ABCD外接球的

表面积为 。

（4）在三棱锥ABCD中，ABCD5,ACBD6,ADBC7,则该三棱锥外接球的表面积

为 . （5）正四面体的各条棱长都为2，则该正面体外接球的体积为 类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型

P题设：APBACB90，求三棱锥PABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接OP,OC，则OAOBOCOPBC1AB，2O为三棱锥PABC外接球球心，然后在OCP中求出半径）

例7（1）在矩形ABCD中，AB4，BC3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）

OA图13A．125125125 B． C． 1296

4

D．125

3（2）在矩形ABCD中，AB2，BC3，沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC，所得三棱锥ABCD

的外接球的表面积为 ．

类型八、锥体的内切球问题

P

1．题设：如图14，三棱锥PABC上正三棱锥，求其外接球的半径。

第一步：先现出内切球的截面图，E,H分别是两个三角形的外心；

1BD，POPHr，PD是侧面ABP的高；

3OEPO第三步：由POE相似于PDH，建立等式：，解出r

DHPD2．题设：如图15，四棱锥PABC上正四棱锥，求其外接球的半径

第二步：求DH

第一步：先现出内切球的截面图，P,O,H三点共线；

EADBOCH图14P1BC，POPHr，PF是侧面PCD的高；

2OGPO第三步：由POG相似于PFH，建立等式：，解出

HFPF3．题设：三棱锥PABC是任意三棱锥，求其的内切球半径

第二步：求FH方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等

第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；

第二步：设内切球的半径为r，建立等式：

VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBC

BGOAEHC图15FD11111VPABCSABCrSPABrSPACrSPBCr(SABCSPABSPACSPBC)r

333333VPABC第三步：解出r

SOABCSOPABSOPACSOPBC习题：

SBSC4，1．若三棱锥SABC的三条侧棱两两垂直，且SA2，则该三棱锥的外接球半径为（ ）

A.3

B.6

C.36

D.9

2．

三棱锥SABC中，侧棱SA平面ABC，底面ABC是边长为3的正三角形，SA23，则该三棱锥的外接球体积等于 . 3．正三棱锥SABC中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等于 . 4．三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，△PAC边长为2的正三角形，ABBC，则三棱锥PABC外接球的半径为 . 5．

三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC3，ABBC，则三棱锥PABC外接球的半径为 . 6．

三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，AC2，PAPC，ABBC，则三棱锥PABC外接球的半径为 .

5