习题3.2教案公开课一等奖

第三讲

空间向量与立体几何

1．平面的法向量的求法

设n＝(x，y，z)，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组非零解．

2．向量法求空间角的方法

(1)异面直线所成角的求法

从两异面直线上分别取与之共线的两向量n1，n2，

如图①，cosθ＝

(2)线面角的求法

→是直线l的方向向量，如设n是平面α的法向量，AB图②，则直线l与平面α所成的角满足sin θ＝

(3)二面角的求法

①如图①，AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内与l垂直的异面直线，则二面角α－l－β的平面角θ满足cos θ＝

②设n1，n2分别是二面角α－l－β的两个面α，β的法向量，在图

②中二面角α－l－β的平面角θ满足cos θ＝

③在图③中二面角α－l－β的平面角θ满足cos ＝

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1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为________．

12．如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD. 2

(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；

(2)求二面角Q－BP－C的余弦值．

从近两年高考试题来看，利用空间向量证明平行或垂直，求空间角是高考的热点内容，题型主要以解答题为主，难度中等偏上．

此类问题主要考查空间坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，运算能力要求较高，预测2019年仍会考查此热点问题，复习时注意掌握利用空间向量证明线面位置关系及求空间角的方法，并加以强化训练．

向量法证明平行与垂直

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，

E是PC的中点．

(1)证明：PA∥平面BDE；

(2)在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论

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1．空间中线面的平行与垂直的证明有两个思路：

一是利用相应的判定定理和性质定理去解决；二是利用空间向量法来求证．

2．用向量法来证明平行与垂直，避免了繁杂的推理论证，而直接计算就行了，把几何问题代数化．尤其是在正方体、长方体、直四棱柱中相关问题证明用向量法更简捷．但是向量法要求计算必须准确无误．

→3．设平面α的法向量为n，则AB∥α⇔AB·n＝0.

用向量法证明平行或垂直时，要根据具体的条件建立恰当的坐标系，证明过程需仔细谨慎，避免运算错误．

1．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．

(1)求证：AC⊥BC1；

(2)求证：AC1∥平面CDB1

用向量法求线线角和线面角

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，BM⊥PD于点M. (1)求证：AM⊥PD；

(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．

利用空间向量求两异面直线所成的角，直线与平面所成的角的方法及公式为：

(1)异面直线所成角θ(0°＜θ≤90°) 设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，

3

则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝|a·b|. |a|·|b|(2)线面角θ(0°≤θ≤90°) 设a是直线l的方向向量，n是平面的法向量，

|a·n|则sin θ＝|cos 〈a，n〉|＝. |a|·|n|

用向量法求二面角

(12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC＝BC＝1，CC1π＝2，∠CAA1＝，D、E分别为AA1、A1C的中点．

3(1)求证：A1C⊥平面ABC；

(2)求平面BDE和平面ABC所成锐二面角的余弦值

应用空间向量求二面角的方法

求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合图形判断所求的角是锐角还是钝角，其计算公式为：设m，n分别为平面α，β的法向量，则所求二面角的平面角θ与〈m，n〉|m·n|互补或相等，则|cos θ|＝|cos 〈m，n〉|＝. |m|·|n|

2．如图所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AA1＝2，AC＝1，M，N分别是A1B1，BC的中点．

(1)证明：MN∥平面ACC1A1；

(2)求二面角M－AN－B的余弦值

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