1.1.2 四种命题优秀导入

《命题及四种命题》教学设计

王连杰

教学目标：了解命题、真命题及假命题的概念，四种命题的概念：明白四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法，正确判断命题的真假，初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识．

教学重点：逆命题，否命题，逆否命题的概念及求法。

教学难点：把命题写成p或q的形式。

合作探究:

在我们日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题。无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理。因此，正确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的基本素质。

本章我们将从命题及其关系入手，学习四种命题的相互关系、充分条件和必要条件，学习逻辑用语，了解数理逻辑的有关知识，体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清楚和简洁。

问题1:下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的

真假吗？

（1）若直线//ab，则直线a和直线b无公共点；

（2）２＋４＝７

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；

（4）若x2=1，则x=1.

（5）两个全等三角形的面积相等；

（6）3能被2 整除

结论：这些语句都是陈述句，且它们都能判断真假。

一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真

假的陈述句，

叫做命题；其中判断为正确的命题，为真命题；

判断为不正确的命题，为假命题；

上述命题中（1）（3）（5）为真命题，（2）（4）（6）为假命题；

例1：下列语句中哪些是命题?是真命题还是假命题?

（1）空集是任何集合的子集；

（2）若整数a是素数，则a是奇数；

（3）对于任意的实数a,都有a2+1>0；

（4）若空间有两条直线不相交，则这两条直线平行；

（5）X2+x>0；

（6）91是素数

；

（7）指数函数是增函数吗? （8）(2)22

（9）若|x-y|=|a-b|,则x-y=a-b.

命题的数学形式：“若p，则q”，命题中的p叫做命题的条件q叫做命题的结论

例2 指出下列命题中的条件p和结论q：

（1）若整数a能被2整除，则a是偶数；

（2）若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分.

解：（1）条件p：____________

结论q：_____________

（2）条件p：

____________

结论q：

_____________

例3：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：

（1）面积相等的两三角形全等；

（2）负数的立方是负数；

（3）对顶角相等.

练习：

1.判断下列命题的真假:

(1)能被6整除的整数一定能被3整除;

(2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形

是正方形;

(3)二次函数的图象是一条抛物线;

(4)两个内角等于

的三角形是等腰直角三角形. 2.把下列命题改写成“若P, 则q” 的形式,并判断它们的真假: (1)等腰三角形的两腰的中线相等; (2)偶函数的图象关于y轴对程; (3)垂直于同一个平面的两个平面平行. 问题2:判断下列命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？

例如，如果命题是：

命题（1）同位角相等，两直线平行; 命题（2）

两直线平行，同位角相等; 命题（3）同位角不相等，两直线不平行; 命题（4）两直线不平行，同位角不相等. 45

命题（1）同位角相等，两直线平行;

（2）

两直线平行，同位角相等;

在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。

再看下面的两个命题：

命题（1）同位角相等，两直线平行;

（3）同位角不相等，两直线不平行；

这里，在命题（1）与命题（3）中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题。把其中一个命题叫做原命题，另一个就叫做原命题的否命题。

命题（1）同位角相等，两直线平行; （4）两直线不平行，同位角不相等。

在命题（1）与命题（4）中，一个命题的条件和

结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，

这样的两个命题叫做互为逆否命题。把其中一个命题

叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆否命题。

互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、

否命题与逆否命题。

设命题（1）“同位角相等，两直线平行”为原命题，

那么：

命题（2）“两直线平行，同位角相等”为逆命题，

命题（3）“同位角不相等，两直线不平行”为否命题，

命题（4）“两直线不平行，同位角不相等”为逆否命题.

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用¬p和¬q分别表示p和q的否定.

四种命题的形式是：

原命题

若p则q；

逆命题

若q则p；

否命题

若¬p则¬q 逆否命题

若¬q则¬p。

注意:否命题在形式上，不一定有“不”字.例如“不是有理数”，为“是有理数”

例4把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出

它们的逆命题、否命题与逆否命题：

（1）负数的平方是正数；

（2）正方形的四条边相等；

（3）对顶角相等。

分析：关键是找出原命题的条件p与结论q。若p则q

解：（1）原命题可以写成：若一个数是负数，则它的平方是正数。

逆命题：若一个数的平方是正数，则它是负数。

否命题：若一个数不是负数，则它的平方不是正数。

逆否命题：若一个数的平方不是正数,则它不是负数。

（2）正方形的四条边相等；

原命题可以写成：若一个四边形是正方形,，则它的四条边相等。

逆命题:若一个四边形的四条边相等，则它是正方形。

否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。

逆否命题：若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形。

（3）对顶角相等

原命题：若两个角是对顶角，则这两个角相等。

逆命题：若两个角相等,则这两个角是对顶角. 否命题：若两个角不是对顶角,则这两个角不相等。

逆否命题：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角。

命题的否定“非p”与否命题的区别：

原命题：对顶角相等

若p则q

命题的否定:对顶角不相等。若p则¬q

若两个角是对顶角，则这两个角相等。

否命题:若两个角不是对顶角，则这两个角不相等。若¬p则¬q

区别：命题的否定——对命题的结论否定

否命题——对命题的条件、结论都否定

例5 以下命题为原命题，写出它们的逆命题、否命题与逆否命题：

（1）若

x2 + y2 = 0，则x、y全为0.

（2）已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，

则a+c=b+d . 解:（1）思考：

若x2 + y2 ≠

0，则x、y全不为0 若x2 + y2 ≠

0，则x、y不全为0。

哪个是否命题？

逆命题:若x、y全为0，则x2 + y2 = 0. 否命题:若x2 + y2 ≠

0，则x、y不全为0. 逆否命题：若x、y不全为0，则x2 + y2 ≠

0 . （2）思考：

已知a、b、c、d是实数，若a≠b，c≠d,则a+c≠b+d，

已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d. 哪个是否命题？

逆命题:已知a、b、c、d是实数，若a+c=b+d ,则a=b，c=d . 否命题:已知a、b、c、d是实数，若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d .

逆否命题：已知a、b、c、d是实数，若a+c≠b+d ,则a≠b或c≠d . 小结.：

(1)命题的概念; (2)判断命题的真假; (3)把有些命题改写成“若P,则q”的形式. (4)四种命题：

原命题

若p则q ；

逆命题

若q则p；

否命题

若¬p则¬q；

逆否命题

若¬q则¬p .