探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积优秀教学设计内容

两个夹在平行平面间的几何体，被平行于两个平面的任意平面所截，若截面积总相等，则这两个几何体体积必相等。

在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家阿基米德发现，但"祖暅原理"是在独立研究的基础上得出的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积上面。在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里(Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为"卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚1100多年。

下面就让我们动手试试看吧

用祖暅原理求柱体的体积

长方体的体积我们早已学过（底乘以高）,如何求圆柱与斜棱柱的体积呢？





（1）这三个柱体等高，所以可夹在两个平行平面之间；

（2）三个柱体被平行于两平面的任意平面所截；

（3）三个截面的面积总相等．

由棱柱的性质可知:平行于底面的截面与底面全等.所以底面积为S，高为h的柱的体积等于与它等底等高的长方体的体积。

定理 柱体的体积等于它的底面积s和高h的积

V = S h

V柱体= S h

C1B1C 4 3 H 10 A 例.如图3-5已知三棱柱的底面是直角三角形ABC，两直角边

AC、BC的长分别为3厘米和4厘米，棱柱的侧棱BB1的长为10

A1厘米，求满足下列条件的三棱柱的体积V.

B 60(1)侧棱BB1垂直于底面，

h (2)侧棱BB1与底面所成角是60，

11(1)V341020cm232

11(2)V3410sin600103cm232说明：在应用体积公式计算之前，应运用直线与平面的有关知识作出高，然后进行计算。

然后进行计算.

如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？

3 2 3 2 如图，我们可以这样分割的三个椎体的体积。三棱锥如果以三角形ABC为底面，那么它1 1 的底面积为S，高为h，而它的体积是V高的积的三分之一。

事实上，对于一个任意的椎体，设它的底面积为S，高为h，那么它的底面积为S，高为h，那么锥体的体积等于底面积为S，高为h的三棱锥的体积，，即这个椎体的体积为1Sh，这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘以3V1Sh

3所以我们得到锥体的体积V

1Sh， 3

最后，我们用祖暅原理求球的体积

我们不妨研究半球（半径为R）的体积，用平行于底面且与底面的距离为l的平面截半球所得的圆面半径为r，r

R2l2。于是截面的面积S1r2R2l2。

为了应用祖暅原理，我们需要找到一个能够求体积的且符合祖暅原理条件的几何体。

为此，我们取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中间挖去一个圆锥（圆锥的顶点在圆柱下底面的圆心，底面为圆柱的上底面）

R 用任一水平面取截这两个几何体，截面分别为圆面与圆环面

h

R 有上述知，圆环面面积S2R2l2，所以根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等。

即V球RR122122RRR3

33所以V球

43R

3练习：1.练习：判断：

（1）底面积相等高相等的两个几何体体积相等。（ ）

（2）体积相等的两个几何体大小形状一定相同.（ ）

（3）大小形状相同的两个几何体体积一定相等。（ ）

2.（1）计算半球在高度h处的截面面积如图

(R2h2)

球的体积的推导在中学教材中是构造性证明的典范，也是我国古代数学的杰出成就之一。在中学教材中对其有详细的推导过程，但如果我们只停留在球的体积推导上面，那么这种构造性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发挥。为此我们向学生提出如下问题：

“球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭圆、双曲线、

抛物线绕其对称轴旋转所得到的几何体的体积又如何求呢？

我们能不能将球的体积的推导方法迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和旋转抛物体的求法中去？”

为此我们对这一问题进行逐一加以研究。

椭球的体积

将椭圆x2a2y2b21绕y轴旋转一周所得到的几何体称之为旋转椭球体。那么这个椭球体的体积如何求呢？

分析：椭圆和圆属于圆锥曲线，它们是类似图形，那么类似图形是否也有类似的推导方法呢？

下面我们尝试一下如何构建几何模型。

取一个底面圆半径为a高为b的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥，把所得的几何体和半椭球体放在同一平面α上，

那么这两个几何体也就夹在两个平行平面之间了，现在用一平行于平面α的任意一个平面β去截这两个几何体，则截面分别是圆面和圆环面

ab2h2

设截面与底面的距离为h，则圆面半径OPb

圆环面的大圆半径OAa，小圆半径OBS圆OP2ah，

ba2b2(b2h2)，

a2b2

S圆环a2a2h2b2(b2h2)

122a2b2由祖暅原理可知：V椭球abab233

4a2b所以V椭球3

上述推导方法其实是球的体积推导方法的“重演”。这实质上是一种同化性迁移，

同化性迁移是学习迁移中最常见的一种类型，也是比较典型的迁移现象，它是在不改变原有知识结构的前提下，直接将原有的经验应用到本质相同的一类事物中去，从而直接而速地完成迁移，在这里主要依赖于事物之间的本质特征的相似性，在实质认同的基础上实现本质类化。

旋转抛物体的体积

已知抛物线x22py（p＞0）

。以

y 轴为绕转轴将抛物线旋转一周，得到一旋转抛物面，设

x 轴绕

y 轴旋转所得的平面为α，β为平行于α且到α的距离为

h 的平面，求平面α与旋转抛物面所围成的几何体体积。

分析：在前面我们通过本质类化的方法，很容易地将问题解决了，

在构造模型时，

我们利用了两个基本的几何体——圆锥和圆柱。而作为同属于圆锥曲线的抛物线所旋转得到的几何体是否也可利用这两个基本图形来构造新的模型来解决这个问题呢？

模型的构造：以旋转抛物体的上底面为底面作一高为

h 的圆柱体，然后将旋转抛物体取出，如图所示，置于平面是α内。现用一平行于平面α且距α的距离为

h 1的平面去截这个几何体，则截面分别为一圆环和圆。

则圆面半径OP2p(hh1)

圆环面的大圆半径OA2ph，小圆半径OB2ph1，

S圆OP22p(hh1)，

S圆环2ph2ph12p(hh1)

11由祖暅原理可知：V抛物体V圆柱2phhph2

22

旋转单叶双曲面的体积

将双曲线x2a2y2b21绕虚轴旋转一周所得到的几何体称之为旋转单叶双曲面，

如果把实轴绕虚轴旋转一周所得到的平面记为α，平面β是一个平行于α且距α的距离为

h 的平面，求α、β和旋转单叶双曲面所围成的几何体的体积。

分析：如果我们还是仿照之前问题中的方法去构造圆柱体，再挖出一个圆锥体，已不再凑效，那么我们可考虑一下双曲线有什么特殊的性质？

那就是双曲线有两条渐近线，

而椭圆与抛物线则没有。如果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周，那么在α与β之间也就形成了一个圆锥体（如图

3 所示）

，这正是我们所需的几何图模型。

我们不难计算出：OA(1OB22h2b2)a2

a2h2b2

22所以圆环面的面积SOAOB(1h2b)a22a2h2b2a2

由祖暅原理知，这个几何体挖去一个圆锥后的体积为：V1a2h

而圆锥的体积为：V圆锥ha2h23b2h23b2

)

故V双曲面V1V圆锥a2h(1

评注：对于此问题的解决，我们没有去构造两个几何体使它们的体积相等，而是运用了割补思想，创造地应用了祖暅原理。

在旋转单叶双曲面问题中，

我们将基本经验（圆锥体中挖出一个几何化学方程式体）进行了调整，将基本要素：所求几何体、圆锥体、圆柱体等进行了重组，扩展了基本原理的适应范围，体现了创造性思维。