阅读与思考 圆锥曲线的光学性质及其应用教案设计

抛物线及其标准方程

贾

涛

一、教学目标

使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．

二、教材分析

1．重点：抛物线的定义和标准方程．

(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识．) 2．难点：抛物线的标准方程的推导．

(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．) 3．疑点：抛物线的定义中需要加上“定点F不在定直线l上”的限制．

(解决办法：向学生加以说明．) 三、活动设计

提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格．

四、教学过程

(一)导出课题

1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

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（1）折纸试验：一张矩形纸，在上面取一点（定点），以纸的一边为定直线，教师指导学生动手操作。

（2）如图（课件展示），把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样铅笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们来归纳抛物线的定义，教师总结．

3．定义

这样，可以把抛物线的定义概括成：

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

(三)抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p(p为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：

方案1：

以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴建立直角坐标系

设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：y2=2px-p2(p＞0)．

方案2：

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以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简得：y2=2px+p2(p＞0)．

方案3：

取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系

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抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y2=2px(p＞0)．

比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？

引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：

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将上表出示，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．

(四)四种标准方程的应用

例题：(1)已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

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方程是x2=-8y．

练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：

(1)焦点是F(3，0)；

(3)焦点到准线的距离是2．

由三名学生演板，教师予以订正．答案是：(1)y2=12x；(2)y2=-x；(3)y2=4x，y2=-4x，x2=4y，x2=-4y．

这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．

(五)小结

本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．

五、布置作业

1、习题8.5第2、3、4题。

课下探究：

2、抛物线可否看作双曲线的一支？

3、在初中我们知道二次函数的图像是一条抛物线，如y=4x2 , 斜率为1的直线经过此抛物线的焦点，与抛物线交于两点A、B，求线段AB的长。

4、在初中我们知道二次函数的图像是一条抛物线，想一想,能否利用所学知识求函数y=ax2+bx+c(a≠0)所表示的抛物线的焦点坐标。如y=2x2+4x+3的焦点坐标。

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