第四章 圆与方程（通用）公开课教案

第四章

圆与方程复习小结

教学目标分析：

知识目标：

1、掌握圆的标准方程、一般方程，会根据条件求出圆心和半径，进而求得圆的标准方程；根据方程求得圆心和半径；掌握二元二次方程表示圆的等价条件；熟练进行互化. 2、掌握直线和圆的位置关系，会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系；会求切线方程和弦长；能利用数形结合求最值. 3、掌握空间直角坐标系的建立，能用(x,y,z)表示点的坐标；会根据点的坐标求空间两点的距离.

重难点分析：

重点：直线与圆的方程的运用

难点：直线与圆的方程的运用

互动探究：

一、课堂探究：

1、圆的方程

（1）标准式：圆心在点(a,b)，半径为r的圆的标准方程为 . 当圆心在坐标原点(0,0)时，圆的标准方程为 . （2）一般式： ______ . （3）圆的一般式方程化为标准式方程为 ___ . （4） 是求圆的方程的常用方法. 2、点与圆的位置关系有 、 、 . 点M(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2(r0)的关系的判断方法：

（1）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆外；

（2）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆上；

（3）(x0a)2(y0b)2r2，点在圆内. 3、直线与圆的位置关系有 、 、 . 方法一：设直线的方程为l:AxByC0，圆的方程为xyDxEyF0

22（DE4F0），圆的半径为r，圆心(22DE,)到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置22关系的依据有以下几点：

⑴当dr时，直线l与圆C相离；

⑵当dr时，直线l与圆C相切；

⑶当dr时，直线l与圆C相交；

方法二：如果直线的方程为ykxm，圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，将直线方程代入圆的方程，消去y得到x的一元二次方程式PxQxR0，那么：

⑴当0时，方程没有实数解，直线与圆没有公共点，直线l与圆C相离；

⑵当0时，方程有一组实数解，直线与圆有且只有一个公共点，直线l与圆C相切；

⑶当0时，方程有两组实数解，直线与圆有两个不同的公共点，直线l与圆C相交；

4、圆的切线方程

（1）已知圆的方程是xyr，则经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程为：x0xy0yr. （2）已知圆的方程是(xa)(yb)r(r0)，则经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程为：22222222

(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2(r0). （3）已知圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则经过圆上一点M(x0,y0)的切线的方程为：x0x+y0y+Dx0+xy+y+E0+F=0. 22（4）已知圆的方程是(xa)2(yb)2r2(r0)，若点M(x0,y0)在圆外，则方程：

(xa)(x0a)(yb)(y0b)r2(r0)经过点M(x0,y0)引圆的两条切线的两切点相连的直线方程，即切点弦所在直线方程. 5、圆的弦长的计算方法

（1）几何法：l=2r2-d2,d为弦心距；

（2）代数法：|AB|=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+12)[(y+y)-4y1y2]. 122k6、圆与圆的位置关系有 、 、 、 、 . 设两圆的连心线长为d，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

（1）当dr1r2时，圆C1与圆C2相离；

（2）当dr1r2时，圆C1与圆C2外切；

（3）当|r1r2|dr1r2时，圆C1与圆C2相交；

（4）当d|r1r2|时，圆C1与圆C2内切；

（5）当d|r1r2|时，圆C1与圆C2内含；

7、圆系方程

（1）经过直线l:Ax+By+C=0与圆C:x2y2DxEyF0的交点的圆系方程为：

x2y2DxEyF(AxByC)0，当=0时表示圆C；

（2）过相交两圆C1:xyD1xE1yF10,C2:xyD2xE2yF20的交点的圆的方程是C3:xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0. 特殊地：当=-1时，圆系方程表示两圆公共弦所在的直线方程；当两圆相切（内切或外切）时，直线l为过两圆公共切点的直线方程. 8、空间直角坐标系

（1）空间直角坐标系中点的坐标可以用一对有序实数对(x,y,z)表示. 22222222

（2）空间两点间的距离公式，如果P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)，则两点间的距离为

|PP(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2. 12|（3）坐标轴上的点与坐标平面上的点的坐标的特点：

x轴上的点的坐标的特点：P(m,0,0)，纵坐标和竖坐标都为零．

y轴上的点的坐标的特点：P(0,m,0)，横坐标和竖坐标都为零．

z轴上的点的坐标的特点：P(0,0,m)，横坐标和纵坐标都为零．

xoy坐标平面内的点的特点：P(m,n,0)，竖坐标为零．

yoz坐标平面内的点的特点：P(m,0,n)，纵坐标为零．

zox坐标平面内的点的特点：P(0,m,n)，横坐标为零．

（4）已知两点的中点坐标：平面上的中点坐标公式可以推广到空间，即设

A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)，则AB中点的坐标为（x1x2y1y2z1z2,,）. 222（5）一个点关于坐标轴和坐标平面的对称点的坐标特点：

点P(x,y,z)关于坐标原点的对称点为P(x,y,z)；

点P(x,y,z)关于坐标横轴（x轴）的对称点为P(x,y,z)；

点P(x,y,z)关于坐标纵轴（y轴）的对称点为P(x,y,z)； 点P(x,y,z)关于坐标竖轴（z轴）的对称点为P(x,y,z)；

点P(x,y,z)关于xoy坐标平面的对称点为P(x,y,z)；

点P(x,y,z)关于yoz坐标平面的对称点为P(x,y,z)；

点P(x,y,z)关于zox坐标平面的对称点为P(x,y,z)．

例1、(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2xy30上的圆的方程；

(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程.

答案：(1)(x4)(y5)10；(2)xy2x4y0. 小结:用待定系数法求圆的方程有两种不同的选择,一般地,已知圆上三点时用一般式方程,已知圆心或半径关系时,用标准方程. 例2、求圆xy4上点与直线4x3y120距离的最大值和最小值.

222222

点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想

例3、已知圆O的半径为3，直线l与圆O相切，一动圆与l相切，并与圆O相交的公共弦恰为圆O的直径，求动圆圆心的轨迹方程

分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？

答案：x6y. 例4、由圆C:xy9外一点P(5,12)引圆的割线交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.

答案：xy5x12y0. 点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”

22222例5、已知圆C:x(y1)5，直线l:mxy1m0. （1）求证：对mR，直线l与圆C总有两个不同的交点；

（2）设l与圆C交于不同的两点A、B，若|AB|17，求直线l的倾斜角；

（3）求弦AB的中点M的轨迹方程；

（4）若定点P(1,1)分弦AB为

22AP1,求此时直线l的方程. PB2

答案：(2)3或2;(3)x2y2x2y10(x1);(4)l:xy0或xy20.

3二、课堂练习： 1、已知圆C的圆心在直线xy40上,并且通过两圆C1:x2y24x30和

C1:x2y24y30的交点,(1)求圆C的方程； (2)求两圆C1和C2相交弦的方程

解：(1) C:xy6x2y30；(2)xy0 2、求圆xy4x12y390关于直线3x4y50的对称圆方程

解：圆方程可化为(x2)(y6)1, 圆心O(2,6),半径为1

222222设对称圆圆心为O(a,b)，则O与O关于直线3x4y50对称，

''b6a23450a422因此有解得

b63b21a24所求圆的方程为(x4)2(y2)21

点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等

反思总结： 1、

本节课你学到了哪些知识点？

2、

本节课你学到了哪些思想方法？

3、

本节课有哪些注意事项？

课外作业： 补充：

1、若圆xy4x4y100上至少有三个不同点到直线l:axby0的距离为22，求直线l的倾斜角的取值范围.

22

答案：[51212,]. 2、当c为何值时，圆x2y2x6yc0与直线x2y30的两个交点P、Q满足？其中O是坐标原点？

OPOQ

答案：c3. 3、已知圆C:(x1)(y2)25及直线l:(3m2)x(m1)y10m7.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆C恒相交.（2）求直线l被圆C截得的弦长的最短长度及此时的直线方程.

答案：d45,l:2xy50. 4、已知光线l过点P(1,1)，经y轴反射后与圆C:(x4)(y4)1相切，求光线l所在的直线的方程.

2222

答案：4x3y10或3x4y10. 5、已知点P(5,0)和圆x2y216，过点P任意作直线l交圆于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.

答案：xy5x0(xy16). 6、从点P(4,5)向圆C:(x2)y4引切线，求切线的方程.

答案：21x20y160或x4. 7、已知直线l过点(0,3)，且与圆C:xy2y40交于A,B两点，若O为坐标原点，且22222222OAOB，求直线l的斜率.

8、已知直线l:yxb与圆C:x2y24交于A,B两点，求弦AB中点M的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？

变式1：已知直线l:ykx1与圆C:x2y24交于A,B两点，求弦AB中点M的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？

变式2：已知直线l:ykx3与圆C:x2y24交于A,B两点，求弦AB中点M的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形？

课后反思：