3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀公开课教案

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3.1.1直线的倾斜角和斜率

教学目标: 知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念；理解直线的倾斜角的唯一性；理解直线的斜率的存在性；斜率公式的推导过程；掌握过两点的直线的斜率公式。

情感态度与价值观：

(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机

教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程：

一、直线的倾斜角的概念

1.我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? 1 优课轩资源网http://www.enteach.net未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的

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(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 2.引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°；当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角；而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向。因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度. 二、直线的斜率

日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度），即：坡度比升高量前进量2 优课轩资源网http://www.enteach.net未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的

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一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 三、直线的斜率公式

给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示:为钝角或锐角时，引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式: 对于上面的斜率公式要注意下面四点：

1.当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；

2.k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; 3.斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; 4.当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. 3 优课轩资源网http://www.enteach.net未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的

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5.求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

四、例题

例1：直线l的倾斜角为45°，斜率k为（ ）；直线l的倾斜角为120°，斜率为（ ）

解：由公式可直接得1，-3。

例2：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的（

DF ）

A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；

D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等；

E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等；

F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞). 例3、如图，直线l1的倾斜角1=300°，直线l2l1，求两条直线的斜率。

解：

l的斜率k

313l2的倾斜角290。30。120。tan1tan30。1。。。。l的斜率ktan120tan(18060)tan60322

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例4、求过A（-2，0），B（-5，3）两点的直线的倾斜角和斜率

解：设该直线的斜率为k,倾斜角为30则由斜率公式得ktan15(2)。。0180135。综上可知：直线的斜率为1，倾斜角135。例5、如图，直线

l1、

l２、

l３的斜率分别是k1、

k２、

k３，

试比较斜率的大小. k1

k3k2五、练习:判断正误

1.直线的倾斜角为，则直线的斜率为tan。（错） 2.直线的斜率为tan，则它的倾斜角为。（错）

3.因为所有直线都有倾斜角，所以直线都有斜率。（错） 4.因为平行于y轴的直线的斜率不存在，所以平行于y轴的直线的倾斜角不存在。（错）

5.直线的倾斜角越大,则直线的斜率越大。（错）

6.倾斜角为90°时，直线不存在。（错）

六、小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念．

(2) 直线的斜率公式. 七、作业: P86 练习 P89习题3.1 1. 2. 3. 5 优课轩资源网http://www.enteach.net未经授权，本站资源禁止用于任何商业目的

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