1.2.3 空间几何体的直观图优秀教学设计范文

1．2.3

空间几何体的直观图

1．空间几何体的直观图

表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．

2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

3．画空间几何体的直观图的步骤

(1)在几何体中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴，使∠xOy＝90°，∠xOz＝90°. (2)画出与Ox，Oy，Oz对应的轴O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′O′y′所确定的平面表示水平平面．

(3)几何体中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．

(4)几何体中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

(5)擦除作为辅助线的坐标轴，就得到了空间几何体的直观图．

1．空间几何体的直观图一定唯一吗？

提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．

2．如何将直观图还原为平面图？

提示：将直观图还原成平面图的过程是由平面图到直观图问题的逆过程．解决由空间几何体的直观图还原空间几何体的问题要注意画法步骤中有关规则的逆向转换，比如：直观图中x′轴与y′轴的夹角为45°(或135°)，则需还原成90°，与y′轴平行的线段还原时应为原线段长度的2倍，且保持与y轴平行．

3．三视图与直观图有什么异同点？

提示：异同点如下表所示

两种视图

相同点与联系

都是空间几何体的表现形式，已知一种形式可转化为另一种形式．三不同点

从三个不同位置观察得出的是三视图，它能体现各部分的准确比例

三视图

直观图

视图需有一定的空间想象能力才能看懂，供较专业的人们使用

从一个位置观察而得出的是直观图，它能直观地体现几何体的形状，但某些方向上的尺寸失真

考点一

水平放置的平面图形的直观图的画法

用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直观图．

[自主解答](1)如图(1)所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，过点O与y轴垂直的是x轴，分别过B、E作BG∥y轴，EH∥y轴，与x轴分别交于点G、H.画对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°.

(2)如图(2)所示，以点O′为中点，在x′轴上取G′H′＝GH，分别过G′、H′在x′11轴的上方作G′B′∥y′轴使G′B′＝GB、作H′E′∥y′轴使H′E′＝HE，在y′2211轴的点O′上方取O′A′＝OA，在点O′下方取O′F′＝OF，并且以点F′为中点，22画C′D′∥x′轴，且使C′D′＝CD.

(3)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，E′A′，所得五边形A′B′C′D′E′

就是正五边形ABCDE的直观图，如图(3)所示．

1．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．

2．在直观图中确定坐标轴上的对应点以及与坐标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作坐标轴和平行线段与坐标轴相交，先确定这些平行线段在坐标轴上的端点的对应点，再确定这些点的对应点．

3．同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直观图可能不同．

1．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD＝3 cm，试画出它的直观图．

解：画法：步骤：

(1)如图①所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，建立平面直角坐标系xOy.如图②所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°.

(2)在图①中，

过D点作DE⊥x轴，垂足为E.在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′

3113＝AE＝3≈2.598(cm)；过点E′作E′D′∥y′轴，使E′D′＝ED＝×＝0.75(cm)，2222再过点D′作D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm.

(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A′B′C′D′

就是所求作的直观图．

考点二

空间几何体的直观图的画法

如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．

[自主解答]

由这个三视图可以看出，该几何体是由一个长方体和一个以长方体的上底面为底面的四棱锥拼接而成的．

步骤是：

(1)作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图①.

(2)再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立空间直角坐标系，如图②所示，在z′轴上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1、V′B1、V′C1、V′D1得到四棱锥的直观图，如图②.

(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图③.

1．利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则

(1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．

(2)画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．

(3)画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．

2．由三视图画几何体的直观图，首先要认清几何体的形状与大小，这是解决此类问题的关键，然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图．

2．某几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．

解：画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.

(2)画圆台的两底面．利用斜二测画法，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的高度，过O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′(与画⊙O一样)．

(3)画圆锥的顶点．在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．

(4)成图．连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.

【解题高手】【妙解题】

如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S，求梯形OABC的面积．

[巧思]

由直观图画平面图形，实际上就是斜二测画法画直观图的逆过程．

其过程主要包括：

45°(或135°)的斜坐标系→平面直角坐标系；

平行于x′轴的线段→平行于x轴，长度不变；

平行于y′轴的线段→平行于y轴，长度加倍．

[妙解] 设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′＝CB，O′A′＝OA.

2过C′作C′D⊥O′A′于D，则C′D＝h.

21由题意知C′D(C′B′＋O′A′)＝S，

22即h(C′B′＋O′A′)＝S.

4又原直角梯形面积为

14SS′＝·2h(CB＋OA)＝h(C′B′＋O′A′)＝＝22S.

22所以梯形OABC的面积为22S.

1．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(

) 答案：C 2．下面的说法中正确的是(

) A．水平放置的正方形的直观图可能是梯形

B．两条相交直线的直观图可能是平行直线

C．互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直

D．平行四边形的直观图仍然是平行四边形

答案：D

3．如图，是水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′，A′B′∥y′轴，则△ABC是(

) A．等边三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

解析：根据斜二测画法的规则，水平放置的直角三角形的直角边在直观图中与y′轴平行，但不一定是等腰直角三角形，故D错．

答案：C

4．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

解析：画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′2到x′轴的距离为.

22答案：

25．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图．则△AOB的面积是________．

解析：由图易知△AOB中，底边OB＝4，又底边OB的高线长为8，

1∴面积S＝×4×8＝16.

2答案：16 6．画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．

解：画法：

(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1)．

(1)

(2) (2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形ABCD的直观图．

(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．

(4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图(如图(2))．