1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）课堂实录【3】

球的体积和表面积

一、教材分析

本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础．

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用．

二、教学目标

知识与技能

（1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识．

（2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题．

（3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力．

过程与方法

4通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式V=R33和面积公式S=4R2的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想．

情感与价值观

通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心．

三、教学重点、难点

重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法．

难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算．

四、学法和教学用具

学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤．

教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识．

创设情景

⑴教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道，

只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到

水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌

鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了

小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们五、教学设计

知道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考．

【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣．

⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何

用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式．

探究新知

1．球的体积：

如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积

之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形

状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积

有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行．

步骤：

第一步：分割

首先，把半球的垂直于底面的半径OA作n等分，过这些等分点，用一组平行于底面的平面把半球切割

R成n个“小圆片”，“小圆片”厚度近似为，底

n面是“小圆片”的底面，如下图

【设计意图】利用分割原理，通过对小圆片体积的计算，推导出球的体积公式，使学生知道知识的来龙去脉，提升学生的学习兴趣与信心，以及对新知识的探索发现能力．

【注意】由于学生的学***

所以，第i层“小圆片”下底面的半径和体积：

不一致，所以在实际教学中，

需根据学生的具体学习能力

Vi≈ri2RRi-1=[1-()2],i=1,2,nnnn3而确定是否适合公式推到过程的学习

R2

r

=R-[(i-1)]2,i=1,2,n.in

第二步：求和

V半球=V1+V2++Vn

R31

≈{1+[1-2]+[1-2nnn

R312+22++(n-1)2 =[n-]nn2

1(n-1)n(2n-1)]

=n[n-n26

1(n-1)(2n-1)=R3[1-2]n6

1113

V半球=R[1-(1-)(2-)]6nn

1222(n1)2

(n1)n1)22(n-1)2(2n

6]++[1-]}n2

R3

【设计意图】透过教师的讲解，让学生初步感受“分割”、“近似替代”、“取极限”等思想，渗透微积分思想．

第三步：化为准确的和

1→0时， 当n→∞时，即n

2V半球=R334得到定理：半径是Ｒ的球的体积

V球=R33

练习：一种空心钢球的质量是142g,外径是5cm,求它

的内径(钢的密度是7.9g/cm)

．

3

【思考】：球的表面积推导过

2．球的表面积：

球的表面积是球的表面大小的度量,它也是球半径R的函数,由于球面是不可展的曲面,所以不能像推导圆柱、圆锥的表面积公式那样推导球的表面积公程是以什么量作为等量变换式,所以仍然用“分割、求近似和，再由近似和转化的？

为准确和”方法推导。简单讲述中国魏晋时代的刘徽与“割圆术”．（不再具体证明）

半径为R的球的表面积为

S=4R2

【设计意图】本题较易，主要

练习：长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、考查有关球的组合体的表面4、5，是它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的积和体积的计算．解决此类问表面积是

．

（答案50元）

运用新知

典例分析:课本P27例4

巩固深化、反馈矫正

（1）方形的内切球和外接球的体积的比为

，表面积比为

．

（2）球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积．

（答案：2500πcm2）

分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质求球的半径．

六、课堂小结：

1．了解球的体积、表面积推导的基本思路；

【设计意图】让学生独立完成题的关键是明确组合体的结构特征．学生来独立完成，有利于培养学生问题解决的能力．在题目讲解过程中，可利用几何画板等多媒体工具将立体几何图形直观表示出来，给学生以直观感受，为加强学生的立体几何思维和空间想象能力提供基础．

2．了解球的体积公式和表面积公式(不要求记忆知识小结，可以逐步提高学生公式)；

自我获取知识的能力．最后教3．计算组合体的体积表面积时，通常将其转化师完善，使知识更系统化．

为计算柱、锥、台、球等常见的几何体的体积表面积．

作业：

P29B（1）、P37B（2）