6.4 反三角函数板书设计

6.4(1) 反正弦函数

【教学目标】

6.4（1）反正弦函数

学科基本内容与要求（元目标）

1. 反正弦函数的概念；

2. 反正弦函数的基本性质和图像；

3. 用反正弦函数的值表示角的大小；

分解目标

反函数的概念

学习反正弦函数的必要性

知识反正弦函数yarcsinx的概念

与符号arcsinx的含义，用反正弦函数的值表示角技的大小

能

反正弦函数的图像

反正弦函数的基本性质

思用数形结合的数学思想分析和思考问题

想

方法

过程与方法

情感态度价值观

讨论反正弦函数概念的生成过程

通过反正弦函数概念的生成过程，体验数学概念的合理性和严谨性。

学会

了解

解释

表达

认识

了解

初步掌握

归纳

感悟

3 1

2 行为动词

理解

知道

掌握

认知水平

2 1 3 评价

目标维度

知识与技能

2 1 1 2

2 2

1.理解反正弦函数yarcsinx的概念，知道符号arcsinx的含义，目标综述

并会用以表示角；

2.知道反正弦函数的图像，并能形数结合掌握反正弦函数的性质；

3.会用数形结合的数学思想分析和思考问题.

【教学重点】

理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质。

【教学难点】

反正弦函数yarcsinx,x1,1的产生和从本质上处理正弦函数ysinxxR的反函数问题。

1

【教学过程】

一、

情景引入

1．复习

我们研究过反函数：对于函数yf(x)，设它的定义域为D，值域为A。如果对值域A中的任意一个值y，在定义域D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足yf(x)，这样得到的x关于y的函数叫做yf(x)的反函数，记为xfx表示，而函数用y表示，所以把它改写为yf11(y)。在习惯上，自变量常用(x)(xA)。

我们也明确不是任何一个函数都存在反函数。如果一个函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的。

2．思考

（1）求满足sinx11再求满足sinx，x,的角值？

，x,的角值。232222[说明]学习反正弦函数的重要性。

（2）那么正弦函数是否存在反函数呢？

[说明]

因为对于任一正弦值y都有无数个角值x与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数。

3．讨论

正弦函数不存在反函数。怎样才能构造一个与正弦函数相关的函数来表示非特殊角？从函数的三要素去考虑：改变定义域，使得ysinx在该区间上自变量与因变量是一一对应的。学生讨论应该选取怎样的区间，使得ysinx存在反函数呢？

这个区间的选择依据三个原则：

（1）ysinx在所取区间上存在反函数；

（2）能取到ysinx的一切函数值1,1；

（3）科学性、合理性、实用性。

可以选取闭区间,，使得ysinx在该区间上存在反函数，而这个反函数就22是今天要学习的反正弦函数。

2

二、学习新课

1．概念辨析

,的反函数叫做反正弦函数，

22（1）反正弦函数的定义：

函数ysinx，x记作yarcsinx，x1,1。 函数的“三要素”：①定义域x1,1；

②值域y

③对应法则yarcsinx. ,；22符号“arcsinx”的理解：①是角；②是值x所对应的角。

（2）反正弦函数的性质：

,范围内的角；③是1,1范围内的正弦22形数结合，学生自主研究正弦函数的性质。

①图像 y21y=arcsinxy=x

y=sinxo1

②定义域[-1，1]。

2x ③值域[-，]。

22④奇偶性：奇函数，即arcsin(x)arcsinx,x1,1。（备注：证明下节课研究）

3

⑤单调性：在[-1，1]上单调递增。（备注：证明下节课研究）

[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线yx对称，函数ysinx，x函数yarcsinx，x1,1的图像关于直线yx对称。

,与222．例题分析

例1．求下列反正弦函数的值。（[说明] 理解符号arcsinx的含义）

（1）arcsin13；（2）arcsin0；（3）arcsin()

2211，,

，则sin 2222解：（1）设arcsin所以6， 即arcsin1

26 （2）设arcsin0，,，

则sin0 22所以0， 即arcsin00

（3）设arcsin(33 )，,，

则sin2222所以3， 即arcsin(3)

23口答：arcsin()；

arcsin12232；arcsin(；arcsin(1)；arcsin1

)；arcsin222

例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x。

（[说明]会用反正弦函数的值表示角的大小）

（1）sinx2，x,；

322

4

（2）sinx，x15,；

22解：（1）因为x∈[-2，]，由定义，可知x=arcsin；

22311，]，由定义，可知x=arcsin（-）=- arcsin；

5522 （2）因为x∈[-例3．判断下列各式是否成立?简述理由。

（[说明]进一步理解符号arcsinx的含义）

（1）arcsin33 （2）arcsin； （3）arcsin12k(kz)；；223323)arcsin（4）arcsin(3；

（5）sin(arcsin2)2；

（6）sin(arcsin6)6

解：（1）（6）式成立；（2）（4）（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-，]。

22

例4．若arcsinx1,求x的取值范围

，1]。

解：利用反正弦函数的图像，形数结合得(sin1

三、课堂小结

教师引导学生总结：

（1）反正弦函数的定义；（2）反正弦函数的性质；（3）用数形结合的思想分析和思考问题。

四、作业布置

1、书上练习6.4(1)中的1、2、3、4 2、思考题：求函数f（x）=2π-arcsin2x的反函数f

1(x)，并指出反函数的定义域和值域.

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