信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆名师教学设计2

椭圆的最值问题(教学设计)

【教学目标】

知识与能力：1.理解椭圆中的最值问题；

2.掌握解决椭圆中的最值问题的方法.

过程与方法：培养学生的分析问题和解决问题的能力，渗透数形结合、化归与转化的思想。

情感态度与价值观：

通过对问题的探究，使学生理解事物之间的普遍联系与辩证统一观点，并能体验成功的喜悦。

【教学重点与难点】

教学重点：椭圆中常见的最值问题的分析

教学难点：掌握解决椭圆中的最值问题方法

。

【教学过程】

一、

导入：

前面几节课可我们学习椭圆，认识了椭圆的概念以及它的性质，这节课我们共同探究关于椭圆的最值的问题。

二、

教学过程：

⑴基础典例剖析

x2y21.设点P是椭圆221(ab0)上的动点，abF是椭圆的一个焦点,则|PF|的最大值为____,最小值为______.

【分析】例1是关于焦半径的最值的考查，通过结合图形可以观察到

x2y22.设点P是椭圆221(ab0)上的动点，abF1,F2是椭圆的两焦点,则FPF12取得最大值时点P的坐标为_______.【分析】

例2考查焦点三角形角的最大值，以及动点的位置，通过观察图形可以的出结论

x2y2

3.设弦AB过椭圆221(ab0)的焦点，ab

则|AB|的最大值_____,为最小值为______.【分析】例3主要考查的是椭圆的焦点弦的最值的问题，任然可以通过观察图形的出结论。

xy4.设点P是椭圆221(ab0)上的动点，

ab

是椭圆的两焦点,则FPF的余弦值的最小F1,F21222

________(用含有a,b的式子表示).值为

【分析】例4我们可以引导学生结合例2的结论来处理问题，也可以通过余弦定理进行严格的理论证明。注意这个问题对结果的要求。

xy21(ab0)的焦点

5.椭圆2ab

三角形PF1F2的最大面积为_____.22

【分析】例5主要是焦点三角形的面积的最值的考查，结合图形，椭圆的性质可以得到结论。

xy

6.过椭圆221(ab0)中心的直线交ab

椭圆于A,B两点，F为椭圆的一个焦点，则

【分析】例6首先要区分该题中的三角形和焦点三角形的本质区别，通过分割法来求解是最好的一种方法，同时结合图形，学生对问题的掌握效果会很好。

⑵

深度例题探究

7.设矩形ABCD内接于椭圆

222ABF面积的最大值为________.xyab2221(ab0)，则矩形ABCD的最大面积则矩形ABCD的最大面积为_______.由椭圆及矩形的对称性可知:

【解析】

矩形的四个顶点关于坐标轴和原点对称.设AC方程为ykx(k0),A(x0,y0),x2y2a2b22212由a得：x022,b2akbykxS矩形ABCD4ka2b24x0y04kx22akb220【分析】这个问题主要是内接的问题，除了以上代数法，部分同学还用参4a2b24a2b22ab.22bba2k2a2kkkb当且仅当k时等号成立.a

数方程来解决问题，过程也很简单，数形结合也能观察。

8.已知椭圆x2+4y2=4,在椭圆上求一点P, 使P到直线L: x-y+4=0的距离最小, 并求最小值. 【分析】可先设出与L平行且与椭圆相切的直线方程.切线方程与椭圆方程联立,利用判别式为0求出参数,再解方程组求切点P的坐标.

解:设与l平行的切线方程为yxm，将y=x+m代人椭圆方程得:x24(xm)24,化简得：5x28mx4(m21)0.由05m20m5.与椭圆相切且与直线L最近的直线方程为yx5.当m5时,解方程组可得P(从而可得最小距离为d455，)，554210.2

注：学生对这种最值的问题也有不同的解法，比如：直接设点的坐标，参数方法等

9.已知F为椭圆

的左焦点，B（2,2）是其内的一点，M为椭圆x



y122259上的动点，则∣MF∣+ ∣MB∣的最大值为

，最小值为

. 【解析】

设椭圆的右焦点为F',则有|MF|+|MF'|=10.|MF|+|MB|=10+|MB||MF'|，由于||MB||MF'|||BF'|=22，1022|MF|+|MB|10+22，【分析】该例题主要用到椭圆的定义这一性质，同时也用到了三角形最基本的性质：两边和大于第三边，两边差小于第三边。

三、课堂练习（同步检测《椭圆中的最值问题

》）

这一练习可以检测学生对问题掌握的程度，有利于帮助学生找出不会的知识，易出错的知识点，也能让老师在讲课时紧抓重点，达到事倍功半的效果。

四、课堂小结

本节课主要介绍了椭圆的最值问题以及解决方法，通过典例的分析与总结，让学生能理解最值的概念以及解决最值的基本方法，从而学到如何处理最值、临界值的题型，为以后解决这一类型的问题打下坚实的基础。