3.1.2 导数的概念教学设计案例

§3.1.2导数的概念

一．

学情分析

本节内容是《数学选修1-1》第三章3.1.2的内容,是在学生学习了函数、单调性、物理学习速度、加速度、瞬时速度以及前一节学***均速度过度到一般函数的平均变化率的内容后，通过跳水运动员瞬时速度实例探究，从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，并抽象概括出导数的概念。它为即将学习的导数的几何意义、导数的计算、导数的应用等知识的奠定了基础，更是我们研究函数单调性、极值、最值和解决生活中优化等问题的有力工具。

二．教学目标：

知识与技能目标：

（1）了解导数概念的实际背景；

（2）理解瞬时速度和函数在某点处导数的定义；

（3）会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数。

过程与方法目标：

（1）体会导数的思想及其内涵，通过了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数. （2）经历由平均速度与瞬时速度关系类比由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会数形结合、特殊到一般、局部到整体的研究问题的方法。

情感、态度价值观目标：

能够在已有的经验（生活经验，数学学习经验）的基础上，通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及其内涵，激发学生兴趣。

三．教学重点与难点

重点：函数在某一点处的导数的概念及用导数概念求函数在一点处的导数。

难点：从物理（实例）中，归纳、概括函数瞬时变化率的定量分析过程，导数的概念及其内涵。

四．教法

相互讨论、探究规律和引导发现的教学方法，通过师生互动、共同探索，形成概念，并学与致用。

五．教学过程：

（一）、知识回顾

平均变化率的定义

运动员的平均速度v_st，平均变化率yf(x2)f(x1)f(x0x)f(x0)

xx2x1x平均速度（特殊）→平均变化率（一般）

（二）、新课引入

65这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，65h()h(0)，

4965h h()h(0)所以v490(s/m)，

6504965虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0(s/m)，但49实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

ot （三）、新课讲授

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，t2时的瞬时速度是多少？考察t2附近的情况：

探究：计算运动员在0t思考：当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势？

结论：当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v都趋近于一个确定的值13.1．

从物理的角度看，时间t间隔无限变小时，平均速度v就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

h(2t)h(2)13.1

为了表述方便，我们用limt0t

表示“当t2，t趋近于0时，平均速度v趋近于定值13.1”

s平均速度 平均变化率(lim) t0t探究：

（1）运动员在t0的瞬时速度怎样表示? hh(t0t)h(t0)4.9t9.8t06.5

tthlimlim(4.9t9.8t06.5)9.8t06.5

t0tt0平均变化率（特殊） 平均变化率（一般）(lim（2）函数f (x)在

x = x0 处的瞬时变化率怎样表示? 2 导数的概念

f(x0x)f(x0)f从瞬时速度过度到函数的瞬时变化率

limlimx0y) x0xxx0x从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是: f(x0x)f(x0)flimlim

x0x0xx我们称它为函数yf(x)在xx0出的导数，记作f'(x0)或y'|xx0，即

f(x0x)f(x0)

f(x0)lim；

x0x说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

（2）f'(x)与x0有关，x0不同导数值一般都不同；

f(x)f(x0)

（3）xxx0，当x0时，xx0，所以f(x0)lim. x0xx0强调：函数值之差与对应自变量差之比取极限。

（四）、典例分析

例1．（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：C）为22h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，f(x)x7x15(0x，计算第8)并说明它们的意义．

解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'(2)和f'(6)

f(2x)f(x0)f根据导数定义，

xx(2x)27(2x)15(227215)x3

xflim(x3)3

所以f(2)limx0xx0同理可得:f(6)5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5C/h的速率上升．

归纳：

求导数的基本步骤：

（1）求函数的增量f(x0Δx)f(x0)

f(x0Δx)f(x0)



xf(x0Δx)f(x0)



flim（3）取极限得导数lim

x0

xx0

x例2．求函数y=x2在x=1处的导数. 分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=(1x)21

（2）求平均变化率fflim66x再求再求

x0xx例3、已知函数yx在xx0处的附近有定义，且y'|xx0（五）、课堂练习

（1）求函数y=3x+5在x=1处的导数. （2）已知函数f(x)x22x，求f'(2)

（六）、课堂小结

1、瞬时速度的概念

2、导数的概念

3、求导数的基本步骤。

（七）、布置作业

P10

3、4 补充：求函数y=x+1/x在x=2处的导数. 1，求x0的值. 2六、教学反思

高考对导数概念要求是：了解其背景，掌握其定义和几何意义，在高考中相应的试题频频出现，在课后我反思应注意以下几个问题：

f(x0x)f(x0)1、函数yf(x)在x0处的导数f'x0lim中，x可正x0x可负，但不能为零。学生不好理解，老师应结合图像或动画给出解释，帮助学生透彻理解。

2、导数是跳过极限内容的教学，学生不容易理解，所以通过动手计算两组平均速度值，并对结果进行观察、分析、讨论、抽象概括出导数的概念，学生提高了动手能力。在相互交流、互相讨论过程中，让学生充分理解无限趋近的含义。

f(x0x)f(x0)3、强调概念中f'x0lim一定是函数值的差与相应自x0x

变量的差，在思考题中有不少学生弄错了。

4、根据这一节课的内容特点以及学生的实际情况,在教学过程中让学生自己去感受问题情境中提出的问题,并以此作为突破口,启发、引导学生得出函数的瞬时变化率及导数。整堂课学生的思维量不够,学生缺少思辩。