小结优秀教学实录

导数及其应用--小结与复习（1）——教学设计

高二数学 陈家善

【教学目标】

1、理解导数的几何意义，能够解决与曲线的切线有关的问题；

2、熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式；

3、能用导数求函数单调性。

【重点难点】

重点:利用导数求切线方程,利用导数求函数单调区间. 难点:利用导数研究含参数单调性问题

【预习案】

一、知识梳理

1、导数几何意义

(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f ′(x0)就是曲线y＝f (x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝

f ′(x0)．

(2)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为 . 2、基本初等函数的导数公式

(1)c′= (2)(x)′= (3)(a)′= (a>0). (4)(e)′= (5)(logax)′= (a>0,且a≠1). (6)(lnx)′= (7)(sinx)′= (8)(cosx)′= . 3、导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝ .xαx (3)[ )]′＝ (g(x)≠0).

(2)[f(x)·g(x)]′＝ . 4、函数单调性

在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果

，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减. 二、课前自测

1．求下列函数的导数： (1) y＝exln x; (2)y＝1＋sin x 1－cos x2．抛物线y＝x2在x=1时的切线方程 . 3．若函数y＝x2－2bx＋6在(2,8)内是增函数，则(

) 1

A．b≤2 B．b<2 C．b≥2 D．b>2 4.设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f ′(x)的图象可能为(

)

【课堂案】

专题一、导数几何意义

例1：已知曲线C的方程是y＝x－3x＋2x. (1)求曲线在x＝1处的切线方程；

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(2)若l2：y＝kx，且直线l2与曲线C相切于点(x0，y0)(x0≠0)，求直线l2的方程及切点坐标．

小结：利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出.常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线

方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q(x1，y1)，由f′(x1)＝

和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，转化为第一种类型.

专题二、利用导数研究函数的单调性

3x例2：（1）已知函数f(x)＝－2x2＋ln x，其中a为常数且a≠0.

a(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．

小结：求函数的单调区间的一般步骤

(1)确定函数f(x)的定义域. (2)计算函数f(x)的导数f ′(x).

(3)解不等式f′(x)＞0，得到函数f(x)的递增区间；解不等式f ′(x)＜0，得到函数f(x)的递减区间. 三、当堂检测

训练1：(1)(2013·广东高考)若曲线y=kx+lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k=__________. (2)已知函数y=x3-x，求函数图象在点(1，0)处的切线方程. 训练2：（1）(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x)e.讨论f(x)的单调性；

2x12（2）已知f(x)＝x－aln x(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．

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【巩固案】

四、巩固提升

11、(2015·陕西，15)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标x为________．

2、【2016新课标2文数】若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b ．

3、(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ex－ex－2x.(1)讨论f(x)的单调性；

－4、已知

(a∈R)，求函数f(x)的单调区间．

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