二、圆锥曲线的离心率与统一方程教学活动设计方案

圆锥曲线方程及几何性质 高考要求与命题趋势

圆锥曲线的几何性质常与代数、三角函数、平面向量、不等式等知识交汇在一起命题,综合性强。

全国卷有关圆锥曲线模块的命题一般是“一大两小”,以2道小题考查圆锥曲线的定义、离心率、标准方程以及几何性质。

双曲线一般体现于选择填空题中，解答题一般涉及椭圆或抛物线. （一）、加强定义的应用转化：(椭圆、双曲线：焦点三角形的应用；抛物线；焦半径公式）

训练题组（一）

x2y21右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上1、已知P是双曲线C：2的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1||PQ|的最小值是 2、已知点P是抛物线y＝2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(

) A.222179 B.3 C.5 D.

22xy1122223、已知P是椭圆＋＝1上一点,Q、R分别是圆(x＋4)＋y＝和(x－4)＋y＝上的点,25944则|PQ|＋|PR|的最小值是______ （二）、双曲线：关注渐近线及其应用：

训练题组（二）

1、以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的双曲线C过点P(4,3)，且其渐近线方程为3yx. 记双曲线C的两个顶点分别为M,N，则△PMN的面积为（ ）

2A．123 B．163 C．63

22D．83

xy52、

[2017·全国卷Ⅲ]已知双曲线C：2－2＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y＝x,ab2xy且与椭圆＋＝1有公共焦点,则C的方程为(

) 123xyxyxyxyA.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 810455443xy3、已知双曲线C：2－2＝1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且斜率为2的直线与双曲线的右ab支恒有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围_ ____ （三）、中点弦的问题：点差法

训练题组（三）

例、已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为(

) xyxyxyxyA.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 36456354（四）、注意知识点的交汇应用：

1

22222222222222222222

训练题组（四）

x2y2例、椭圆221(ab0)与函数yx的图象交于点P，若函数yx的图ab象在P处的切线过椭圆的左焦点F(1,0)，则椭圆的离心率是（ ）

A．31513252 B． C． D．

222222（五）巩固练习

xy1、已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两ab点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( ) xyxyxyxyA.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 453636272718189xy2、

[2017·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：2－2＝1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半ab径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为________ 3、

已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率e222222222232)在椭圆C，点Q(222上. （1）、求椭圆C的标准方程； （2）、若斜率为k(k0)的直线L交椭圆C与A、B两点，且kOA、k、kOB成等差数列，点M（1,1），求SABM的最大值.

2

x2y2664:已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点1，. ab33322

(1)求椭圆C的方程；(2)设与圆O：x＋y＝相切的直线l交椭圆4C与A，B两点，求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程.

5、已知曲线C1上任意一点M到直线l：x＝4的距离是它到点F(1，0)距离的2倍；曲线C2是以原点为顶点,F为焦点的抛物线. (1)、求C1,C2的方程；

(2)、过F作两条互相垂直的直线l1,l2,其中l1与C1相交于点A,B,l2与C2相交于点C,D,求四边形ACBD面积的取值范围.

3

圆锥曲线方程及几何性质 高考要求与命题趋势

圆锥曲线的几何性质常与代数、三角函数、平面向量、不等式等知识交汇在一起命题,综合性强。

全国卷有关圆锥曲线模块的命题一般是“一大两小”,以2道小题考查圆锥曲线的定义、离心率、标准方程以及几何性质。

双曲线一般体现于选择填空题中，解答题一般涉及椭圆或抛物线. （一）、加强定义的应用转化：(椭圆、双曲线：焦点三角形的应用；抛物线；焦半径公式）

训练题组（一）

x2y21右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上1、已知P是双曲线C：2的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1||PQ|的最小值是 122 2、已知点P是抛物线y＝2x上的一个动点,则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A.222179 B.3 C.5 D.

22xy1122223、已知P是椭圆＋＝1上一点,Q、R分别是圆(x＋4)＋y＝和(x－4)＋y＝上的点,25944则|PQ|＋|PR|的最小值是____9___ （二）、双曲线：关注渐近线及其应用：

训练题组（二）

1、以坐标原点为对称中心，坐标轴为对称轴的双曲线C过点P(4,3)，且其渐近线方程为3yx. 记双曲线C的两个顶点分别为M,N，则△PMN的面积为（ C ）

2A．123 B．163 C．63

22D．83

xy52、

[2017·全国卷Ⅲ]已知双曲线C：2－2＝1(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y＝x,ab2xy且与椭圆＋＝1有公共焦点,则C的方程为( B ) 123xyxyxyxyA.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 810455443xy3、已知双曲线C：2－2＝1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且斜率为2的直线与双曲线的右ab支恒有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围_1222222222222e5 ____ （三）、中点弦的问题：点差法

训练题组（三）

例、已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( B ) xyxyxyxyA.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 364563544

22222222

（四）、注意知识点的交汇应用：

训练题组（四）

x2y2例、椭圆221(ab0)与函数yx的图象交于点P，若函数yx的图ab象在P处的切线过椭圆的左焦点F(1,0)，则椭圆的离心率是（ B ）

A．31513252 B． C． D．

222222（五）巩固练习

xy1、已知椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两ab点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( D ) xyxyxyxyA.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 453636272718189xy2、

[2017·全国卷Ⅰ]已知双曲线C：2－2＝1(a>0,b>0)的右顶点为A,以A为圆心,b为半ab径作圆A,圆A与双曲线C的一条渐近线交于M,N两点.若∠MAN＝60°,则C的离心率为____222222222223____ 332)在椭圆C，点Q(2223、

已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率e上. （1）、求椭圆C的标准方程； （2）、若斜率为k(k0)的直线L交椭圆C与A、B两点，且kOA、k、kOB成等差数列，点M（1,1），求SABM的最大值. 解、（1）、

x2y2664:已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，且过点1，. ab335

322

(1)求椭圆C的方程；(2)设与圆O：x＋y＝相切的直线l交椭圆C与A，B两点，4求△OAB面积的最大值，及取得最大值时直线l的方程. x解

(1)由题意可得c解得a＝3，b＝1，∴＋y＝1. 63＝，a3a＝b＋c，222222222＋2＝1，a3b13x3132(2)①当k不存在时，直线为x＝±，代入＋y＝1，得y＝±，∴S△OAB＝×3×232223＝； ②当k存在时，设直线为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程得42x2＋y2＝1，－6km3m－3222消y得(1＋3k)x＋6kmx＋3m－3＝0，∴x1＋x2＝32，x1x2＝2，

1＋3k1＋3ky＝kx＋m，直线l与圆O相切⇔d＝r⇔4m＝3(1＋k)，∴|AB|＝1＋k·1＋10k＋9k3·24＝1＋6k＋9k242222－6km2－12（m－1）1＋3k21＋3k1≤2.

2＋9k＋6222＝3·4k1＋3×24＝1＋6k＋9k21＋4k1311332当且仅当2＝9k，即k＝±时等号成立，∴S△OAB＝|AB|×r≤×2×＝，

k32222∴△OAB面积的最大值为3，∴m＝±23131＋＝±1，此时直线方程为y＝±x±1.

4335、已知曲线C1上任意一点M到直线l：x＝4的距离是它到点F(1，0)距离的2倍；曲线C2是以原点为顶点,F为焦点的抛物线. (1)、求C1,C2的方程；

(2)、过F作两条互相垂直的直线l1,l2,其中l1与C1相交于点A,B,l2与C2相交于点C,D,求四边形ACBD面积的取值范围. 解：(1)设M(x,y),则由题意有22x2y22(x－1)＋y＝|x－4|,化简得：＋＝1. 432故C1的方程为＋＝1,易知C2的方程为y＝4x. 4322(2)由题意可设l2的方程为x＝ky＋1,代入y＝4x得y－4ky－4＝0,设C(x1，y1),D(x2，y2),2则y1＋y2＝4k,所以|CD|＝|CF|＋|DF|＝x1＋1＋x2＋1＝k(y1＋y2)＋4＝4(k＋1).因为l1⊥x2y2l2,故可设l1的方程为y＝－k(x－1),代入＋＝1得

438k(4k＋3)x－8kx＋4k－12＝0,设A(x3，y3),B(x4，y4),则x3＋x4＝2,x3x4＝4k＋322222x2y26

12(k＋1)4k－1222|AB|,＝1＋k（x＋x）－4xx＝故四边形ACBD的面积为：

3434224k＋34k＋3222124(k＋1)124t3312＋2S＝|AB|·|CD|＝＝＝4t－1＋＝s＋＋2(其中t＝k＋24t－12s24k＋34t－122211s－11≥1,s＝4t－1≥3)设f(s)＝s＋(s≥3),则f′(s)＝1－2＝2>0,故f(s)在[3，＋∞)2sss3131单调递增,因此S＝s＋＋2≥3＋＋2＝8,当且仅当s＝3即k＝0等号成立.故四边形2s23ACBD面积的取值范围为[8，＋∞).

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