2.2.1 椭圆的标准方程教学设计内容推荐

课题：椭圆及其标准方程（第一课时）

一、教学目标分析

（1）知识技能：

①理解椭圆的定义及焦点、焦距的概念，能正确推导椭圆的标准方程；

②掌握求椭圆标准方程的定义法和待定系数法；

（2）过程方法：

①经历椭圆的形成过程，培养学生运动变化的观点，训练学生的动手的能力；

②通过联系曲线方程的求法，推导椭圆的标准方程，建立类比的思想；

③在椭圆的概念与标准方程的应用中，学习数学思想和解决问题. （3）情感、态度、价值观：

通过小组合作，培养学生的协作、友爱精神，体验成功的快乐

二、教材分析

本节内容是继学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习可以为以后研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容之一。因此，这一节的教学既可以对前面所学知识情况进行检查，又为以后进一步学习其他两种圆锥曲线打好基础，所以学好本节课内容具有承上启下的重要意义。本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法，如：数形结合思想、化归思想等。

三、教学重难点分析

（1）教学重点：椭圆的定义及椭圆标准方程，用待定系数法和定义法求曲线方程。

（2）教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。

四、教学程序安排

认识椭圆——画椭圆——定义椭圆——椭圆方程——应用椭圆

五、教学过程：

环节一：多媒体展示

引入课题：椭圆及其标准方程

材料1：天体中行星绕太阳旋转；

材料2：生活中椭圆的实例. 学生活动：观察动画，指出行星的运行轨道.

设计意图：利用学生熟知的地理规律：行星围绕太阳转引入，让学生感到亲切自然；通过生活中的椭圆实例，让学生感受现实，激发学生的兴趣。

环节二：动手实验：

(1)取一定长的细绳，把它的两个端点固定在画板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，旋转一周，会得到什么图形？

(2)把绳子的两个端点拉开一段距离，再套上铅笔旋转，又会得到什么图形？

(3)继续拉远两个端点的距离，直到把绳子拉直，又会得到什么图形？

学生活动：各小组学生利用手中工具在图板上进行实验. 设计意图：通过做实验，让学生动手实践，体验椭圆的形成过程，加深对椭圆定义的理解.

环节三：小组讨论，相互补充，得出结论。

引导学生讨论实验结果，总结规律。

当绳长大于两定点的距离时，轨迹是椭圆；

当绳长等于两定点的距离时，轨迹是以这两个定点为端点的线段；

当绳长小于两定点的距离时，没有轨迹. 设计意图：将学生分为二人一组，通过分组讨论、研究，增强学生的合作意识

环节四：多媒体展示，引出椭圆的定义

椭圆形成过程. 利用点的轨迹，描述椭圆的定义. 引导学生观察椭圆形成过程，找出动点、定点及绳长是否变化，组织小组讨论. 椭圆的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点的距离叫做焦距.

MF1MF2常数（大于F1F2）

学生活动：小组讨论，给出椭圆定义. 设计意图：通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.

环节五：建立椭圆的方程：

引导学生按求曲线方程的步骤建立椭圆的方程

1、建系：以F1,F2所在的直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系xOy. 2、设点：设点M（x,y）是椭圆上的任意一点，点M到F1,F2的距离和为2a,焦距为2c(c>0),则F1（－c,0）,

F2(c,0) 3、列式：由定义：MF1MF22a，即(xc)2y2(xc)2y22a

4、化简：整理,得

(a2c2)x222222a2y2∵a>0,c>0,2a>2c (a2a)cx2y2∴a(ac)>0.方程的两边都除以a(ac)，得2221

aac22如图：MF1MF2a，OF1OF2c

则MOa2c2,

令ba2c2，则b2a2c2，那么方程变为：

x2y221（a>b>0）. 2ab学生活动：回顾求圆的方程的步骤：⑴建系，⑵设点，⑶列式，⑷化简. 设计意图：建立椭圆的方程是本节课的难点，为降低难度，让学生回顾求圆的方程的步骤，以已有的知识来探求新的知识，温故知新，教师再加以正确的引导，新知会自然形成.

环节六：范例精讲，尝试运用

例1 （教材P34例1）已知椭圆两个焦点的坐标分别是（-2,0），（2,0），

53并且经过点（,），求它的标准方程

22解析：1，明确a、b、c的关系以及含义

2，明确焦点在X轴还是在Y轴上，并正确迅速的把相应标准方程写出来

3，明确方程中哪些量是需要我们求的，根据已知条件如何把这些量建立等量关系

解：法一（定义法） 由已知得：椭圆的焦点在X轴上，因此可设椭圆标准方程为 53x2y2,）在椭圆上

1ab0点（2222ab2222

5353由椭圆定义得2a22

22222a210

a10

又

c2，由b2a2-c2得b26

x2y21

因此，所求方程为106法二（待定系数法）老师引导，学生上台自己做，最后总结方法、技巧、步骤

由已知得：椭圆的焦点在X轴上，因此可设椭圆标准方程为 x2y21ab0

a2b253点（,）在椭圆上，两焦点坐标为F12,0,F22,0，可联立方程组得：

22

a2b24①

53221②

a2b222联立①②式得：2b49b2180……③

由③式得：2b23b260解得：b26或-3舍去



由a2b2c2得a210

x2y21

因此，所求方程为106环节七：方法总结

（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在X轴上还是Y轴上，或者还是两个坐标轴都有可能

1.焦点在X轴上可设：x2y221ab0,2ab2.焦点在Y轴上可设：yx1ab022ab3.焦点不知在哪个轴上可设：mx2ny21m0，n0，mn22（2）设方程：

最后一种方法适用两点坐标并且不知道焦点在X轴还是在Y轴上（3）找关系：根据已知关系建立a、b、c的关系式或m、n的方程组

（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求

环节八：知识迁移，触类旁通

（待定系数法的运用）求焦点在坐标轴上，且经过（优化指导椭圆第一节变式训练2，A3,2和B-23,1两点的椭圆的标准方程学生用书P27）

解析：因为题目条件具体在哪个坐标轴上并未可知，且过两点坐标，所以方程可设为Ax2By21A0,B0,AB,将两点坐标代入可联立方程组

解：依题意得，设所求椭圆方程为Ax2By21A0,B0,AB，将点

A3,2和点B-23,1的坐标代入方程得：3A+4B=1, 11x2y21

12A+B=1, 解得：A=，B=，所以所求方程为155155

环节九：课堂小结（多媒体展示）

1、观察椭圆图形及其标准方程，师生共同总结归纳

（1）椭圆标准方程对应的椭圆中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴；

（2）椭圆标准方程形式：左边是两个分式的平方和，右边是1；

（3）椭圆标准方程中三个参数a,b,c关系：（a2b2c2）

（4）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定,X,Y下面对应的哪个分母大，焦点就在哪个轴上；

（5）求椭圆标准方程时，可运用定义法或待定系数法求出a,b的值。

标准方程

x2y2+=1(ab0)

a2b2y M y2x2+=1(ab0)

a2b2y

M F2F2

x O 图形

x F1

O F1

a,b,c关系

焦点坐标

焦点位置

b2a2c2

(c,0)

b2a2c2

(0,c)

在x轴上

在y轴上

环节十：作业训练，巩固提高

p36练习第3题，P42习题2.1A组第 1 题，第2题第（1）小题.