3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则PPT专用教学设计内容

3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

一、学习目标

二、重难点

重点：常数函数、幂函数的导数及导数公式的应用．

难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式．

三、新课内容

1、几个常用函数的导数

（1）

思维导航

怎样用定义求函数y＝f(x)的导数？

牛刀小试

1．自己依据导数的定义求函数：①y＝c；②y＝x；③y1＝x；④y＝的导数并对照教材检查，然后自己求函数y＝x2x的导数．

解：∵Δyfx＋Δx－fxΔx＝Δx

＝x＋Δx－x1Δx＝x＋Δx＋x，

∴y′＝lim

Δy＝lim

11Δx→0ΔxΔx→0x＋Δx＋x＝2x. （2）

基本初等函数的导数公式

3．若f(x)＝ax，则f

′(x)＝_____________.若f(x)＝ex，＝________.

4．若f(x)＝logax，则f

′(x)＝______________．

若f(x)＝lnx，则f

′(x)＝________.

牛刀小试

2．函数f(x)＝0的导数是(

)

A．0

B．1

f

′(x)

则

C．不存在

D．不确定

【解析】常数函数的导数为0.

【答案】A

3．若f(x)＝tanx，f

′(x0)＝1，则x0的值为__________.

【答案】

x0＝kπ，k∈Z

命题方向1：导数公式的直接应用

例1：求下列函数的导数．

(1)y＝a2(a为常数)；

(2)y＝x12；

(3)y＝x4；

－(4)y＝lgx.

解：(1)∵a为常数，∴a2为常数，

∴y′＝(a2)′＝0. (2)y′＝(x12)′＝12x11. 4(3)y′＝(x)′＝－4x＝－5. x－4－51(4)y′＝(lgx)′＝. xln10方法规律总结

1.用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁．利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度．

2．利用导数公式求导，应根据所给问题的特征，恰当地选择求导公式，将题中函数的结构进行调整．如将根式、分式转化为指数式，利用幂函数的求导公式求导．

跟踪训练1：导数公式的直接应用

求下列函数的导数

1(1)y＝2；

x(2)y＝x；

(3)y＝2x；

(4)y＝log3x. 解：

1－－(1)y′＝x2′＝(x2)′＝－2x3. 31113－(2)y′＝(x)′＝(x3

)′＝x3

. 3(3)y′＝(2x)′＝2xln2. 1(4)y′＝(log3x)′＝. xln3

命题方向2：求某一点处的导数

1例2：求函数f(x)＝在x＝1处的导数．

x1111－－1－解：f

′(x)＝′＝(x2

)′＝－x2

2x31－12＝－x

＝－3，

22x1∴f

′(1)＝－＝－，

2211∴函数f(x)在x＝1处的导数为－. 21

方法规律总结

求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：

(1)先求函数的导函数；

(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．

跟踪训练2：

1已知f(x)＝，且f

′(1)＝－，求n. 3nx11－解：

f

′(x)＝n′＝(xn

)′

xnn+11－－11－2＝－x

＝－xn

，

nn1∴f

′(1)＝－，

n111由f

′(1)＝－得－＝－，得n＝3. 3n3命题方向3：利用导数公式求切线方程

例3：求过曲线y＝cosx上点垂直的直线方程．

解：

∵y＝cosx，∴y′＝－sinx，

曲线在点π1P3，2处的切线斜率是

π1P3，2且与在这点的切线1ππ3y′|x＝＝－sin＝－. 3322∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为，

3

12π∴所求的直线方程为y－＝x－3，

232π3即2x－3y－＋＝0. 32方法规律总结：

1.求切线方程的步骤：

(1)利用导数公式求导数．

(2)求斜率．

(3)写出切线方程．

注意导数为0和导数不存在的情形．

跟踪训练3：

曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率为(

) A．1

C．e

【答案】A

【解析】∵y＝ex，∴y′＝ex，

∴曲线y＝ex在点(0,1)处的切线斜率k＝e0＝1.

命题方向4：导数的应用

11－－例4：若曲线y＝x2

在点(a，a2

)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．

311－－2解：

y′＝－x

(x>0)，故在点(a，a2

)处的切线的斜率

231－k＝－a2

，

2

B．2 1D．

e

113－－－所以切线方程为y－a2

＝2

a2

(x－a)，

13－易得切线在x轴、y轴上的截距分别为3a，a2

，

2所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为

1113－9S＝×3a×a2

＝a2

＝18. 224∴a＝64. 方法规律总结

切线方程、截距、面积的计算是对导数的几何意义、运算的综合运用，看清切点位置的同时构造方程是解题的关键．

跟踪训练4：

已知函数f(x)在R上满足f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程．

解：由f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，令x＝2－x，得f(2－x)＝2f(x)－(2－x)2＋8(2－x)－8，

即2f(x)－f(2－x)＝x2＋4x－4，

联立f(x)＝2f(2－x)－x2＋8x－8，得f(x)＝x2，

∴f

′(x)＝2x，f

′(2)＝4，即所求切线斜率为4，

∴切线方程为y－4＝4(x－2)，

即4x－y－4＝0.