3.1.3 导数的几何意义第二课时 公开课

导数的几何意义

【教学目标】

1.理解切线的定义

2.理解导数的几何意义

3.学会应用导数的几何意义。

【教学重点与难点】

重点：理解导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数形结合的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义。

【知识狂图】

数：

平均变化率

形：

割线的斜率

类

比

数形结合

瞬时变化率

导

数

应

用

切线的斜率

导数的几何意义

切线方程

割

线

逼

近

切

线

【教学过程】

教

学

过

程

一、创设情境、导入新课

1.回顾旧知、引出研究的问题：

fxxf(x0)（1）平均变化率y0；

xxfxxf(x0)第二步：求瞬时变化率f(x0)lim0. x0x（即x0，平均变化率趋近于的确定常数就是该点导数）

．．．．．．．．

设

计

意

图

老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，下面探究导数的几何意义也是依据导数概念的形成，寻求解决问题的途径。

1 (2) 类比平均变化率得出导数，同样我们可以利用平均变化率的几何意

义，得出导数的几何意义，我们观察函数yf(x)的图象，平均变化fxxf(x0)率y0

的几何意义是什么？

xx教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。

生：平均变化率表示的是割线PPn的斜率

突破平均变化率的几何意义，后面在表示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数几何意义是什么？

二、引导探究、获得新知

1.得到切线的新定义

要研究导数的几何意义，结合导数的概念，即要探究x0，割线的变化趋势， ．．．．．．．◆多媒体显示：

曲线上点P处的切线PT和割线PPn，演示点Pn从右边沿着曲线逼近点P ,即x0，割线PPn的变化趋势。

以求导数的两个步骤为．．．．．．．．．依据，从平均变化率的几．．何意义入手探索导数的几何意义，抓住x0的联系，在图形上从割线入手来研究问题。

用逼近的方法体会割线逼近切线。

教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系呢？

生：先观察后发现，当x0，随着点Pn沿着曲线逼近点P，割

2

线PPn无限趋近于点P处的切线。

当点Pn(x0x,f(x0x))沿着曲线f(x)逼近点P(x0,f(x0))时，即x0，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线。

突破研究的难点：x0，割线PPn点P处的切线

根据切线定义可知：x0，割线PPn趋近于切线PT

。那么割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率k又有何关系？

当x0,则

knk,klim

肯定学生的研究结果，并引导学生把这种由割线逼近的方法得到切线推广到一般曲线，并由此得出割线的变化趋势，为研究几何意义做好铺垫。

即klimknx0

x0fx0xf(x0)f(x0) x通过两个思考问题：（1）先解决割线斜率与 生：函数f(x)在xx0处的导数就是曲线在该点处的切线斜率k，即：切线斜率的关系

fx0xf(x0)（2）再对照平均变化率klimf(x0)

x0x与瞬时变化率的关系，自然得出切线的斜率对应3.得出导数的几何意义

该点处的瞬时变化率即 函数 y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义

导数。

2.结合上面的研究过程，你能指出导数f(x0)的几何意义吗？

就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率，

f(x0)

即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

yf(x0)f(x0)(xx0)

三、对导数的几何意义的应用。

1.例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. 3f(x)2x2.求函数 在x=1处的切线方程。

3

3.在曲线y=x2上过哪一点的切线

1.平行于直线y=4x-5 2.垂直于直线2x-6y+5=0

通过讲题，练题使学生对导数的几何意义的应用达到熟练

题型总结明确

教学反思：

首先在割线无限趋近于切线时，引导不明确，导致学生无法回答，概念耽误时间太多。应该注意对概念的剖析和引导。

在题型辨析的时候，题型明确，但是重复计算的内容太多，耽误时间（但是培训计算能力和耐心）。应该增加一些其他变式。（重在掌握题型，该处计算导数在后面公式学完之后简化）

在例题中的点在曲线上，和点不在曲线上，最好画图让学生去感知一下，不应该只停留在数上面，应该数形结合，让学生给去感知。

给予学生更多的时间思考和更多的动手机会，不能老师一直叙述。

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