二、圆锥曲线的离心率与统一方程PPT配套优秀教学设计内容

圆锥曲线中的离心率问题

离心率是圆锥曲线的一个重要性质，是刻画圆锥曲线形态特征的基本量。我们知道椭圆的离心率0e1，双曲线的离心率e1，抛物线的离心率e1。因此，求椭圆、双曲线的离心率就成了历年高考的热点。在此结合高考题，浅谈圆锥曲线与离心率有关问题的常见方法，以便学生能更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律，提高分析问题和解决问题的能力。

椭圆的离心率e2cc(0,1)在椭圆中我们知道c2a2b2所以离心率的平方2aab2e12。

a2双曲线的离心率e2cc(1,)在椭圆中我们知道c2a2b2所以离心率的平2aab2方e12。

a2我们可以用离心率的定义或者a或b或c的等量关系、不等关系来解决相关的离心率问题。

命题角度一：能够根据离心率的定义，解决与离心率有关的圆锥曲线题目.

x2y21.(2013全国新课标Ⅱ卷)设椭圆C:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2，PabC的离心率为（

）

是C上的点，PF2F1F2，PF1F230，则（A）1133

（B）

（C）

（D）

3263【答案】

D

【考点定位】本题考查椭圆、离心率的定义，中等题。

【解析】

因为PF2F1F2,PF1F230,所以PF22ctan30又PF1PF22343c,PF1c。33633c13，即椭圆的离心率为，选D. c2a，所以33a33【方法与技巧】在焦点三角形中，常根据条件将三边用c表示出来，再根据圆锥曲线定义找出a、c间等式求出e。

x2y22.（2013年四川文科卷第9题）

从椭圆221(ab0)上一点P向x轴作垂线，垂abA是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且足恰为左焦点F1，AB//OP（O是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）

（A）1322 （B） （C） （D）[ 2242【答案】

C 【考点定位】本题考查椭圆的标准方程、简单几何性质以及两直线平行的充要条件，课本习题改编，中等题。

(c)2y2b2221，【解析1】

由已知，点P（-c,y）在椭圆上，解得p(c,)，又ABOPababb2b2122，即b=c,所以e12，故椭圆的离心率e，选C aaca22，【方法技巧】求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a、b、c的等量关系，c2b2然后把b用a、c代换，求a的值；在双曲线中由于e12，故双曲线的渐近线与离心a率密切相关，求离心率的范围问题关键是确立一个关于a，b，c的不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到关于a，c的不等式，由这个不等式确定a，c的关系．

命题角度一：根据目标一的方法探究“与离心率相关”的求参数的问题. x2y22.椭圆221(ab0)F1、F2是椭圆的两个焦点，如果椭圆上存在一点P，使得ab，F1PF290,离心率e的取值范围 【答案】

[2,1)

2【考点定位】本题考查椭圆的简单几何性质离心率问题，如何去寻找和建立者a或b或c的不等关系，中等题。

【解析1】可以设点P（x,y）在椭圆上则y0y01，即x02y02c2x0cx0c

x02y02a2(c2b2)2221222x,e[,1)0xaba002c222解得与椭圆方程联立2因为解得

xyc00【方法技巧】寻找动点P与椭圆基本量之间的关系，借助椭圆的范围建立不等关系。

【解析2】借助焦半径公式PF1aex0,PF2aex0,

因为PF1PF2F1F2222，解出x02a(cb),2c化简后与上面是一样的。

222【方法技巧】寻找动点P与椭圆基本量之间的关系，借助椭圆的范围建立不等关系。

【解析3】设PF1m,PF2n由椭圆定义和勾股定理得，

mn2amn2222mn2a2c()amn2222当且仅当时取等，解得mn(2c)，得

e[2,1)2。

【方法技巧】椭圆焦三角形及椭圆的定义，与基本不等式建立不等关系。

【解析4】

当P点在椭圆短轴端点处时，F1PF2即可，进而有为最大，所以只要此处的F1PF290,cb

，解得答案一样。让解题事半功倍。x2y2

变式1：椭圆221(ab0)F1、F2是椭圆的两个焦点，如果椭圆上存在一点P，ab，使得F1PF260,离心率e的取值范围 【答案】

[,1)

12M总在椭圆内部，则椭变式2：已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点圆离心率的取值范围是（ ）

A．(0,1) B．(0,] C．(0,【答案】C 【解析】

点M的轨迹是以F1、且圆在椭圆内部，所以cbF2为直径的圆，1222) D．[,1)

22e(0,，解得2)

2x2y23．（2009重庆卷文、理）已知椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为abac，则该椭圆的离心率的F1(c,0),F2(c,0)，若椭圆上存在一点P使sinPF1F2sinPF2F1取值范围为 ．

【解析1】因为在PF1F2中，由正弦定理得则由已知，得PF2PF1

sinPF1F2sinPF2F1ac，即aPF1cPF2

PFPF1211设点(x0,y0)由焦点半径公式，得PF1aex0,PF2aex0则a(aex0)c(aex0)

记得x0a(ca)a(e1)a(e1)a，整理得

由椭圆的几何性质知x0a则e(ca)e(e1)e(e1)cPF2由椭圆的定义知

a故椭圆的离心率e(21,1)

e22e10,解得e21或e21，又e(0,1)，【解析2】

由解析1知PF1c2a2PF1PF22a则PF2PF22a即PF2，由椭圆的几何性质知aca2a2PF2ac,则ac,既c22ca20,所以e22e10,以下同解析1. ca

【方法技巧】借助焦半径的范围PF1ac,PF2ca

总结：在求解圆锥曲线离心率取值范围时，一定要认真分析题设条件，合理建立不等关系，把握好圆锥曲线的相关性质，记住一些常见结论、不等关系，在做题时不断总结，择优解题.尤其运用数形结合时要注意焦点的位置等.