习题2.4优秀教案案例

抛物线及其标准方程

江门市新会第二中学

李炳棋

一、教学目标

1．知识与技能

使学生掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．

2．过程与方法

要求学生进一步熟练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能力．

3．情感态度与价值观

通过一个简单实验引入抛物线的定义，可以对学生进行理论来源于实践的辩证唯物主义思想教育．

二、教材分析

1．重点：抛物线的定义和标准方程．

(解决办法：通过一个简单实验与椭圆、双曲线的定义相比较引入抛物线的定义；通过一些例题加深对标准方程的认识．) 2．难点：抛物线的标准方程的推导．

(解决办法：由三种建立坐标系的方法中选出一种最佳方法，避免了硬性规定坐标系．) 第

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3．疑点：抛物线的定义中需要加上“定点F不在定直线l上”的限制．

(解决办法：向学生加以说明．) 三、活动设计

多媒体平台演示，几何画板动画制作，提问、回顾、实验、讲解、演板、归纳表格．

四、教学过程

(一)导出课题

利用多媒体教学平台，进行各种图形的演示，我们已学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线．今天我们将学习第四种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程．课题是“抛物线及其标准方程”．

请大家思考两个问题：

问题1：同学们对抛物线已有了哪些认识？

在物理中，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象？

问题2：在二次函数中研究的抛物线有什么特征？

在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴是平行于y轴、开口向上或开口向下两种情形．

引导学生进一步思考：如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了．今天，我们突破函数研究中这个限制，从更一般意义上来研究抛物线．

(二)抛物线的定义

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1．回顾

平面内与一个定点F的距离和一条定直线l的距离的比是常数e的轨迹，当0＜e＜1时是椭圆，当e＞1时是双曲线，那么当e=1时，它又是什么曲线？

2．简单实验

如图，是几何画板演示图，在一个平面内，点F是一个定点，l是一条定直线，点F不在定直线l上，点M是动点，线段MH垂直于直线l，垂足于H，动点M在运动过程中保持MFMH，演示后得出点M的运动轨迹是抛物线。反复演示后，请同学们归纳抛物线的定义，教师总结．

3．定义

这样，可以把抛物线的定义概括成：

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．

(三)抛物线的标准方程

设定点F到定直线l的距离为p (为已知数且大于0)．下面，我们来求抛物线的方程．怎样选择直角坐标系，才能使所得的方程取得较简单的形式呢？

让学生议论一下，教师巡视，启发辅导，最后简单小结建立直角坐标系的几种方案：

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方案1：(由第一组同学完成，请一学生演示．) 以l为y轴，过点F与直线l垂直的直线为x轴，建立直角坐标系(图2- 30)．设定点F(p，0)，动点M的坐标为(x，y)，过M作MD⊥y轴于D，抛物线的集合为：p={M||MF|=|MD|}．

化简后得：y22pxp2,p0。

方案2：(由第二组同学完成，请一优等生演板) 以定点F为原点，平行l的直线为y轴建立直角坐标系(图2-31)．设动点M的坐标为(x，y)，且设直线l的方程为x=-p，定点F(0，0)，过M作MD⊥l于D，抛物线的集合为：

p={M||MF|=|MD|}．

化简得：y2pxp,p0。

22方案3：(由第三、四组同学完成，请一优等生演板．) 取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系(图2-32)．

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抛物线上的点M(x，y)到l的距离为d，抛物线是集合p={M||MF|=d}．

化简后得：y2px,p0。

2比较所得的各个方程，应该选择哪些方程作为抛物线的标准方程呢？

引导学生分析出：方案3中得出的方程作为抛物线的标准方程．这是因为这个方程不仅具有较简的形式，而方程中的系数有明确的几何意义：一次项系数是焦点到准线距离的2倍．

由于焦点和准线在坐标系下的不同分布情况，抛物线的标准方程有四种情形(列表如下)：

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将上表画在小黑板上，讲解时出示小黑板，并讲清为什么会出现四种不同的情形，四种情形中P＞0；并指出图形的位置特征和方程的形式应结合起来记忆．即：当对称轴为x轴时，方程等号右端为±2px，相应地左端为y2；当对称轴为y轴时，方程等号的右端为±2py，相应地左端为x2．同时注意：当焦点在正半轴上时，取正号；当焦点在负半轴上时，取负号．

(四)四种标准方程的应用

例题：(1)已知抛物线的标准方程是y26x，求它的焦点坐标和准线方程；

(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0，-2)，求它的标准方程．

方程是x28y．

练习：根据下列所给条件，写出抛物线的标准方程：

(1)焦点是F(3，0)；

1

(2)准线方程是x；

4(3)焦点到准线的距离是2．

由三名学生演板，教师予以订正．答案是：(1)y12x；(2)yx；(3)y4x，222y24x，x24y，x24y．

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这时，教师小结一下：由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式中都只含一个系数p，因此只要给出确定p的一个条件，就可以求出抛物线的标准方程．当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就唯一确定了；若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定，则所求的标准方程就会有多解．

(五)小结

本次课主要介绍了抛物线的定义，推导出抛物线的四种标准方程形式，并加以运用．

（附课后习题）

到准线的距离是多少？点M的横坐标是多少？

2．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1)x22y；

(2)4x23y0；

(3)2y25x0；

(4)y26x0．

3．根据下列条件，求抛物线的方程，并描点画出图形：

(1)顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点与焦点的距离等于6；

(2)顶点在原点，对称轴是y轴，并经过点p(-6，-3)．

4．求焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程．

作业答案：

1．a，ap；

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112．1）焦点F0,，准线方程y；

2233（2）焦点F0,，准线方程y；

161655（3）焦点F,0，准线方程x；

8833（4）焦点F,0，准线方程x；

223．(1)y224x，y22x(2)x212y(图略) 4．分别令x=0，y=0得两个焦点F1(0，-3)，F2(4，0)，从而可得抛物线方程为x212y或y216x

六、板书设计

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