3.1.1 空间向量及其加减运算课堂实录

使用时间:2014.11

教材:选修2-1

编写:钟漫

审核：钟漫

第三章 空间向量与立体几何

3.1 空间向量及其运算

【新课导学】

李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处．在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移是什么？

【基础知识】

知识点一 空间向量的基本概念

定义

表示法

平面向量

空间向量

向量的模

相等向量

相反向量

单位向量

零向量

思考：（1）零向量的方向是 （2）单位向量的模都相等且为1，而模相等的向量一定是相等向量吗？

（3）空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内？（看幻灯片）

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例1：给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为(

) A．4

B．3 C．2

D．1 知识点二 空间向量的加法减法运算

因为空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，所以空间向量的运算就是平面向量运算的推广，凡是只涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。

平面向量

空间向量

加法法则

减法法则

数乘运算

加法交换律

加法结合律

乘法分配律

推广：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即： ⑵首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．

即：

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例1：已知平行六面体ABCDA'B'C'D',化简下列向量表达式

D’

(1)ABBC(2)ABADAA11(3)(ABADAA1)31(4)ABADCC12A’

B’

C’

D A B C 练：如图所示，已知长方体ABCD－A′B′C′D′.化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果．

(1)

AA－CB；

(2)

AA＋AB＋BC.

例2：

如图,已知空间四边形ABCD中,向量ABa,ACb,

ADc,若M为BC的中点,G为△BCD

的重心,

A 试用a、b、c表示下列向量: ⑴DM ⑵AG

D B M C G 【优化作业】

1、下列说法中正确的是(

) A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反

B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b| C．空间向量的减法满足结合律

D．在四边形ABCD中，一定有AB＋AD＝AC

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2．给出下列四个命题：

(1)方向相反的两个向量是相反向量；

(2)若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；

(3)不相等的两个空间向量的模必不相等；

(4)对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|. 其中正确命题的序号为(

) A．(1)(2)(3)

B．(4)

C．(3)(4)

D．(1)(4) 3．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，与向量AD相等的向量共有

(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

4．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，模与向量AB的模相等的向量有（

) A．7个

B．3个

C．5个

D．6个

5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为BD1的是

(

) ①(A1D1－A)－AB

1A③(AD－AB)－DD1

②(BC＋BB1)－D1C1

④(B1D1－A)＋DD1

1AD．①④

A．①②

B．②③ C．③④

6．已知平行四边形ABCD的对角线交于点O，且OA＝a，OB＝b，则BC＝(

) A．－a－b

1B．a＋b

C.a－b

2

D．2(a－b) 7．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝________. 8．化简AB－AC＋BC－BD－DA＝________.

9.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：

(1) CB＋BA1；

1(2) AC＋CB＋AA；

21CB. (3) AA1－AC－

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