1.4.3 含有一个量词的命题的否定优秀获奖教案

1.4.3

含有一个量词的命题的否定

教学目标：

知识与技能：

（1）通过探究数学中一些实例，使学生归纳总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律。

（2）通过例题和习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定。

过程与方法

使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括的能力

情感、态度和价值观

通过

学生的举例，培养他们的辨析能力以及他们的良好的思维品质，在练习过程中进行辩证唯物主义教育思想。

重点、难点

重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律，会正确地对含有一个量词的命题进行否定。

难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定

教学过程

一．创设情境

数学命题中出现“全部”“所有”“一切”“任何”“任意”“每一个”等与“存在着”“有”“有些”“某个”“至少有一个”等的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在量词（用符号分别记为“∀”与“∃”来表示）；由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题。在全称命题与特称命题的逻辑关系中，它们的否定形式是我们困惑的症结所在，所以我们今天这堂课看的就是1.4.3含有一个量词的命题的否定。

二．活动尝试

问题1：指出下列命题的形式，写出下列命题的否定

(1)

所有的矩形都是平行四边形; (2)

每一个素数都是奇数; (3)

∀x∈R, x²-2x+1≥0 以上三个命题都是全称命题,即具有形式“∀x∈M,p(x)”其中命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”, 也就是说, 存在一个矩形不是平行四边形; 命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”, 也就是说,存在一个素数不是奇数

命题(3)的否定是“并非所有的x∈

R, x²-2x+1≥0”, 也就是说,∃x0∈R,

x0²-2x0+1<0

总结1：一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论：

全称命题p: ∀x∈M ,p(x)，

定ㄱp: ∃x0∈M,ㄱp(x0)，

全称命题的否定是特称命题

三．师生探究

问题2：写出下列命题的否定：

1）p：

∃x0∈R, x0²+2x0+2≤0; （2）p：有的三角形是等边三角形; （3）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分

分析:（1）ㄱp：

∀x0∈R, x0²+2x0+2>0;

（2）ㄱp：所有的三角形都不是等边三角形; （3）ㄱp：对于所有的四边形，它的对角线不可能互相垂直或平分

总结2：一般地，对于含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论：

特称命题p: ∃x0∈M ,p(x0)，

它的否定ㄱp: ∀

x∈M,ㄱp(x)，

特称命题的否定是全称命题

四．总结

1.数学理论：在具体操作中就是从命题P把全称性量词改成存在性的量词，存在性的量词改写成全称量词，并把量词作用范围进行否定，即须遵循下面法则，否定全称得存在，否定存在得全称，否定肯定得否定，否定否定得肯定。

2关键量词的否定

词语

词语的否定

词语

是

不是

一定是

一定不是

都是

不都是

大于

小于或等于

小于

大于或于

必有一个

至少有n个

至多有一个

所有x成立

所有x成立

词语的否定

一个也没有

至多有n-1至少有个

两个

存在一个x存在有不成立

个成立

五．巩固运用

例题1 :写出下列全称命题的非,并判断其真假：

（1）p：∀x∈

R, x²-x+¼≥0; （2）q：所有的正方形都是矩形. 分析：1）ㄱp：

∃x∈R,

x²-x+¼<0;假

ㄱq：至少存在一个正方形不是矩形;假

例2 :写出下列全称命题的否定：

（1）p：所有能被3整除的整数都是奇数; （2）p：每一个四边形的四个顶点共圆; （3）p：对任意x0∈Z, x0²的个位数字不等于3 （4）p：所有人都晨练

(5)p：平行四边形的对边相等

分析：（1）ㄱp：存在一个能被3整除的整数不是奇数; （2）ㄱp：存在一个四边形,它的四个顶点不共圆; （3）ㄱp：

∃x0∈Z, x0²的个位数字等于3. （4）ㄱp：有的人不晨练

（5）ㄱp：存在平行四边形，它的对边不相等

注：解题中会遇到省略了“所有、任何、任意”等量词的简化形式，应将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例3 :写出下列特称命题的否定：

（1）p：

∃x0∈R, x0²+2x0+2≤0; （2）p：有的三角形是等边三角形; （3）p：有一个素数含三个正因数

分析:（1）ㄱp：

∀x0∈R, x0²+2x0+2>0; （2）ㄱp：所有的三角形都不是等边三角形; （3）ㄱp：每一个素数都不含三个正因数.

例4 :写出下列命题的非,并判断其真假：

（1）p：

∃x∈R, x²+2x+2≤0; （2）q：至少有一个实数x,使x³+1=0 （3）r：任意两个等边三角形都是相似的; （4）s：∃x0∈R, x0²+2x0+2=0.

分析：（1）ㄱp：

∃x∈R,x²-x+¼<0;假

（2）ㄱq：

∀x∈R, x3+1≠0. 假

（3）ㄱr：

存在两个等边三角形,它们不相似；真

（4）ㄱs：

∀x∈R, x²+2x+2≠0. 假

练习1 写出下列命题的非,并判断其真假：

（1）一切分数都是有理数; （2）有些三角形是锐角三角形;

（3）

∃x∈R,

x²+x=x+2; 2 （4）

∀x∈R,

2x+4≥0.

六、课下作业

教材第27页，习题1.4A组第3题，B组（1）(2)(3)(4)