习题3.2优秀教学实录

立体几何中的向量方法

一．教学目标：

知识与技能目标

1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念，能用向量语言表述直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行垂直关系，掌握求直线的方向向量与平面的法向量的方法

过程与方法目标

1.通过直线的方向向量与平面的法向量的理解和应用，可以提高学生感知和梳理知识的能力

2.由具体问题的解决到解题方法的总结，培养学生的探索，操作和归纳能力

3.用数学语言描述几何知识，可以提高学生的数学表达和交流能力，发展独立获取数学知识的能力

情感、态度、价值观目标

1.通过对立体几何中的向量方法的学习过程,激发学生对数学的好奇心和求知欲

2.通过向量方法在立体几何中的应用，让学生体会数学的美妙，培养学生发现，提出，解决问题的能力

二．教材分析

教学重点：直线的方向向量和平面的法向量概念的理解及应用

教学难点：直线的方向向量和平面的法向量的应用

三．教法学法分析

1. 借助导学案引导学生运用数形结合的方法理解直线与平面间的平行与垂直关系可以由直线的方向向量和平面的法向量来确定，通过学生间的合作与交流展示实现教学环节

2.运用多媒体课件，形象，直观再现了知识产生的过程，增大了教学容量，提高了教学效率，培养了学生发现问题，分析问题，解决问题的能力

【设计意图】导学案可以让学生更清楚更准确的看到本节课要讲的内容，引起学生的兴趣. 四．教学过程

1.创设情境，引入课题

通过导学案复习空间向量及其运算，思考如何利用空间向量解决立体几何中直线与平面间的平行垂直问题

2.师生协作，理解概念

设计意图】通过动手实验及思考，使学生在活动中对直线的方向向量与平面的法向量这两个概念有一个总体上的认识，也为下一过程——如何利用空间向量证明直线与平面间的平行垂直做好准备。

活动探究，过程体验

【设计意图】展示学生的作业能让学生更直观的感受如何利用直线的方向向量和平面的法向量来证明直线与平面间的平行与垂直,同时也可以增强学生的自信心. 3.启发引导，演绎结论

本环节是本节课的一个难点，为了突破难点，使学生自己归纳总结出求这两种向量的坐标的方法，我这里画出了直线与平面间的平行与垂直的图形语言，引导学生说出直线与平面间的

平行与垂直的符号语言

设计目的：在图形的指引下，学生自主发现直线与平面间平行的符号语言

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一___非零___向量作为它的方向向量(i是空间一直线,A,B是l上任意两点,则

AB

及与l平行的非零向量均为直线l的方向向量.（2)平面的法向量可由方程组求出:设

a

, b

是平面内不共线的两个向量，为平面的法向量，则求法na0nb0向量的方程组2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l的方向向量为

a

，平面α的法向量为

b

，则l∥α或

l⊂α⇔

a

，(2)设平面α和β的法向量分别为b则α∥β⇔auau0；

设计意图】师生相互协作,通过图形语言共同得出线面间的平行与垂直符号语言

3.实践应用，开放思考

1.平面α的法向量为(1,2,-2)，平面β的法向量为(-2,-4,k)，若α∥β，则k等于( )

A．2

B.－4

C．4

D．－2 2.已知直线l的方向向量为

α

＝(1,2,3)，平面α的法向量为

α

＝(5,2,-3)，则l与α的位置关系是________．

3.设

α

, β

分别是平面α,β的法向量, β

=(-2,2,5)，当

α

=(3,-2,2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4,-4,-10)时,α与β的位置关________．

【设计意图】使学生初步掌握利用直线的方向向量与平面的法向量证明直线与平面的平行垂直关系,为后面的向量应用作铺垫

题型一

利用空间向量证明平行问题

【例1】

如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.

【设计意图】提升学生应用向量方法解决平行问题的能力,进一步激发学生学习数学的热情,不断挑战自我精神的体现. 总结:恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键

题型二命题点1利用空间向量证明垂直问题证线面垂直【例2】(2017·青岛模拟)如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，1BC＝2AB，B1C1=BC且B1C1//BC,2二面角A1­AB­C是直二面角．

【设计意图】提升学生应用向量方法解决垂直问题的能力. 5.归纳小结,提炼精华

请学生谈谈在知识、思想、方法上的收获。然后教师在学生回答的基础上，与学生一起总结为：

一种思想：数形结合思想；

两个定义：直线的方向向量和平面的法向量

两个关键：恰当建立空间直角坐标系,准确表示各点与相关向量的坐标

6.课后作业,课后延伸

布置作业:习题3.2

A组

2题

4题（1）

补充作业:【例3】

如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC. 【设计意图】布置有层次的作业,有助于优等生的培养

板书设计：

一、两个概念: 1.直线的方向向量

二、直线与平面平行垂直的图形语言

三、例题

2.

平面的法向量

设计意图：完整的板书设计为本节课提供了教学提纲，是学生获取知识具有更明确的指向性。