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直线和抛物线的位置关系

--------题型分析

介休一中数学教师 范丽琴

【学习目标】1.掌握抛物线定义及其标准方程和抛物线的几何性质.，

2.掌握直线和抛物线的位置关系的判断方法. 3.熟练掌握直线和抛物线的位置关系的应用. 【复习回顾】

1.直线与抛物线的位置关系：

（1）位置关系的判定：

联立直线l:ykx和m抛物线y22px(p0)消y整理得：22

mk2x2(km)px0当a0时

0直线与抛物线相交，有两个不同公共交点

0直线与抛物线相切，只有一个公共交点

0直线与抛物线相离，没有公共交点

当a0时，则直线是抛物线的对称轴或是和对称轴平行的直线，此时直线与抛物线相交，只有一个公共交点，但不能成为相切

(2)若直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB1k2(x1x2)24x1x2或AB112(yy)4y1y2，特别注意解题122k时结合韦达定理来处理问题

2.焦点弦问题：

p设过抛物线y22px(p0)的焦点F(,0)的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x1,y1)，

2直线与2的斜率分别为k1,k2，直线的倾斜角为，则有

2pp2①y1y2p；②x1x2；③k1k24；④ABx1x2p，

sin24⑤FApp112，FB；⑥，

1cos1cosAFBFp

直线和抛物线的位置关系

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⑦过A,B两点做准线的垂线，垂足分别为M,N,则MFN900, ⑧通径AB2P；⑨以弦AB长为直径的圆总与准线相切

【例题讲解】

题型一：交点个数问题

例1. 抛物线C:y24x，直线L过点P(0,1)，

若L与C只有一个公共点，求直线L的方程。

（答案：x0或y1或yx1

）

变式练习：

已知直线l：ykx1和抛物线y28x

（1）若直线l与抛物线有两个公共点，求k的取值范围

（2）若直线l与抛物线只有一个公共点，求k的取值范围

（3）若直线l与抛物线没有公共点，求k的取值范围

题型二：弦长问题 例2.过抛物线y22x的焦点作倾斜角为45的直线交抛物线于A,B两点，则线段AB的长是多少？（答案：4）

变式练习：

已知抛物线y24x截直线y2xb所得的弦AB的长为35，P是其对称轴上一点，若S△PAB=39，求P点的坐标。 【 P（15，0）或（-11，0）】

题型三：

最值问题（1）

例3.求抛物线x2y上一点p到直线l:2xy40的距离最小值及p的坐标

变式练习：

直线和抛物线的位置关系

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求抛物线y212x上的点到直线l:3xy50的距离的最小值，并求取得最小值的点的坐标。

小结：相离时的距离最值问题：

解法一：平行直线系

解法二：用坐标表示出距离，可转化为求函数的最小值

最值问题(2)

例4.在抛物线y2=2x上求一点Ｐ,使Ｐ到焦点F与到点A(3,2)的距离之和最小

题型四：中点弦问题

例5. 求抛物线

y28x

被点P(-1,1)平分的弦所在直线方程及弦长. 小结：对于中点弦问题，在抛物线中通常利用点差法可得到直线斜率，中点

及P三者之间的关系

变式练习：

1已知抛物线y26x，求过点(0,1)的直线被抛物线所截得弦中点的轨迹方程

2.已知抛物线y26x及定点M(4,3)，求被点M平分的抛物线的弦所在直线的方程，并求此弦长。

【归纳小结】

1. 直线与抛物线的位置关系：

①一个公共点: 相切或相交(与对称轴重合或平行) ②无公共点(相离): 最值问题 (平行直线系或转化为函数最值) ③两个公共点: 相交(弦长公式、焦点弦） 2. 类比、数形结合、转化、分类讨论的思想

直线和抛物线的位置关系

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3.提出问题、解决问题的能力，以及归纳概括的能力

【同步练习】

1. 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于23，求此抛物线的方程。

x2y22.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过椭圆221(ab0)的一个ab焦点F，且垂直于椭圆两焦点所在直线，已知抛物线与椭圆的一个交点为226M(,)，求椭圆和抛物线的方程。

333. 过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线

（ ）

A．有且仅有一条

B．有且仅有两条 C．有无数条

D．不存在

4. 已知抛物线y22px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边的方程是y2x,求抛物线的方程. x2a2y2b25. 抛物线顶点在原点，它的准线过双曲线=1（a＞0,b＞0）的一个焦点，并26，求抛物线与双曲3与双曲线实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为,线方程. 6. 顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线2xy40所得的弦长为35，求抛物线的方程。 （y24x或y236x）

7.设A(a,0)是抛物线y22px(p0)对称轴上的一个定点,过A作抛物线的弦PQ，求证：P,Q这两点的横坐标之积为定值，纵坐标之积也是定值。

直线和抛物线的位置关系

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8.正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两顶点C,D在抛物线y2x上，

求正方形的面积．

9.如图所示，倾斜角为的直线经过抛物线y28x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点. （1）求抛物线焦点F的坐标及准线l的方程；

（2）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，

证明FPFPcos2为定值，并求此定值.

x2y210.在直角坐标系xoy中,椭圆C1:221(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2.F2ab也是抛物线C2:y24x的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且MF2（1）求C1的方程；

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3（2）平面上的点N满足MN=MF1+MF2，直线l∥MN，且与C1交于A,B两点，若OA·OB=0，求直线l的方程.

直线和抛物线的位置关系

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