阅读与思考 旋转对称教学实录与评析

图形的旋转（第1课时）

人教版《义务教育教科书·数学》

（九年级上册第二十三章23.1）

授课教师：

曾和平

江西省南康区第六中学

2019年4月

1

教学设计

一、内容和内容解析

1．内容：旋转的概念和性质. 2．内容解析

旋转是一种图形变换，也是初中学段继平移和轴对称之后学习的第三种全等变换，它是研究中心对称的知识基础，也是探究旋转对称类图形（如圆）的必要准备. 本课是本章的起始课，重点探究旋转的概念和性质，是本章知识的核心，也是后续研究中心对称和坐标应用的关键. 旋转的概念突出了三要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角，这三个要素是确保旋转的唯一性的必要条件，也是表述一个旋转过程的必要因素. 通过观察大量旋转的实例逐步抽象得出旋转的概念，这一过程是将对旋转的认识逐步理性化的过程，也是感受如何定义一种图形变换的过程. 旋转的性质是研究在图形变化前提下图形要素间的不变性，是研究图形变换的价值之所在. 正是因为图形在位置变化的过程中保持了形状和大小的不变，并因各自不同的变化而产生出要素间新的确定的关系，我们才能以此为基础去作图、证明或解决其他问题. 同为图形变换，旋转的性质与平移和轴对称的性质有相似之处，但这种相似更体现在性质的探究过程. 图形整体的变换过程是复杂的，可以先从研究图形上的特殊点（直线型的特殊点一般是其顶点）的变换过程出发，由点到形、由特殊到一般的去研究整体，并了解类似问题的基本研究套路. 基于以上分析，确定本节课的教学重点是：旋转的性质.

二、目标和目标解析

1．目标

（1）通过观察具体实例认识旋转；

（2）探索并掌握旋转的性质.

2．目标解析

达成目标（1）的标志是：能通过观察具体的旋转实例抽象出旋转三要素，会判断图形的变化是否为旋转，能指出图形旋转中的三要素，会利用三要素描述旋转. 达成目标（2）的标志是：经历作图、猜想、验证的探究过程，得到并理解旋转的性质，会利用旋转的性质发现旋转中的不变关系，会利用旋转的性质作一个图形经过旋转后的图2

形. 三、教学问题诊断分析

学生在小学初步认识了旋转，但仅限于图形的识别，没涉及几何要素间的定量分析. 学生也学***移、轴对称两种图形变换，具备研究图形变换的基本经验，知道只改变位置的图形变换是全等变换. 在平移和轴对称变换中，变换的途径更直观，对应量的关系更清楚，与之相比，旋转具有更强的抽象性.

学生在探究性质的过程中，或是应用性质的过程中，都会遇到不能发现旋转的途径，找不到对应量，不会确定旋转中心等问题. 针对学生可能遇到的问题，在本课的教学中应注意两点：一是通过大量的旋转实例展示，让学生通过不断地观察熟悉旋转，认识图形在不同的旋转中的相对位置，积累认知和判别经验；二是在实例的观察中，引导学生发现图形上的点的变换与图形的变换具有一致性，从而通过对点的研究发现形的性质. 基于以上分析，本节课的教学难点是：探究旋转的性质. 四、教学过程设计

1．观察实例得出旋转的概念

问题1

先从剪纸引入，明确主题：旋转,可以适当介绍我国剪纸是人类非物质文化遗产.然后在屏幕上显示“剪纸艺术欣赏”，学生在观察欣赏情景中自然引入“旋转”.引入课题《23.1旋转》.这每组剪纸的两个图形之间，其中一个是经过哪种图形变换而得到另一个图形的？

设计意图：利用动态演示的剪纸的三种情况引出了平移、轴对称和旋转三种全等变换，引入本节课的研究对象，并为类比之前的学习内容，清晰本章学习的线索和内容作好铺垫.

教师追问1：情况2是轴对称，当时我们在学习时主要研究了它的哪些方面？

教师追问2：轴对称的概念和性质是什么？

师生活动：教师提出问题，学生思考回答，师生共同总结出以下几点：

(1)已经学***移、轴对称这两种图形的变换，以轴对称为例，并分别研究了它们的概念、性质、作图、图形设计、相关图形等，旋转也可以从这些方面去研究；

(2)回忆轴对称的内容也是为接下来概念和性质的学习打下基础，回忆从具体事例抽象3

出概念和如何研究性质.而且也使学生明确旋转在所学数学知识体系中的位置. 设计意图：本节课是本章的起始课，使学生明确本章要学什么，怎么学.通过追问使学生明确旋转和平移、轴对称一样都属于图形的变换，因此可以类比轴对称去研究旋转，向学生渗透类比是发现问题解决方法的重要途径，另外一方面渗透获得概念的一种思想方法——从具体实例中归纳概括本质属性. 问题2

先让学生举出一些生活中的实例，再观察实例：旋转的风车，转动一定角度的钟表，有天津特色的解放桥闭合和打开的状态.思考：如何描述这种图形的变换？

师生活动：小学时学生已经学过旋转，通过发言寻找生活中旋转的例子.学生通过观察与思考，尝试去描述这种运动. 设计意图：让学生通过具体实例尝试描述一个图形关于旋转中心的旋转，从而引出旋转概念的学习.

问题3发给学生中间有挖掉一个三角形洞的硬纸板，让他们依据老师的描述画出将这个三角形旋转后的三角形.在一张白纸上任取一点O和点P．如果让它绕一个定点O旋转90°，得到几个结果？

教师追问1：如果让它分别绕点O和点P顺时针转动90°，得到几个三角形？

教师追问2：如果让它绕定点O顺时针旋转，得到几个三角形？

教师追问3：给定怎样的条件才能使旋转后的图形唯一确定？

设计意图：通过活动来明确旋转“三要素”，让学生体会缺少任何一个要素都不能确定一个旋转，从而使学生从旋转的概念中的“唯一确定性”体会到旋转的“三要素”. 师生活动：学生发言，教师引导学生归纳：物体都在转动一定的角度；并且都是在绕一个点转动.教师指出，如果将上面问题的指针、叶片看作平面图形，那么上述运动就可看作是一个平面图形绕着平面图形内某一个点转动一个角度，数学中把这叫做图形的旋转.观察课件中钟表的旋转，准确描述钟表的旋转.如果图形上的点P经过旋转变为图上点P＇，通过钟表图认识P和P＇是对应点关系

设计意图：通过观察大量旋转的实例逐步抽象得出旋转的概念，这一过程是将对旋转的4

认识逐步理性化的过程，也是感受如何定义一种图形变换的过程，即将“生活中的旋转”抽象为“数学中平面图形的旋转”；让学生借助实例，理解旋转概念和对应点概念，明确概念中的“唯一确定性”，理解旋转三要素. 练习

教科书第59页练习第2，3题. 设计意图：通过练习，初步训练学生从具体实例中找到“旋转中心”、“旋转角”、“旋转方向”、“对应点”的能力.帮助学生巩固对旋转概念的认识，会利用三要素的描述旋转. 2．探究旋转的性质

问题4

在硬纸板上，挖一个三角形洞，再另挖一个小洞O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸，先在纸上描出这个挖掉的三角形图案(△ABC)，然后，围绕旋转中心转动硬纸板，再描出这个挖掉的三角形(△A′B′C′)，移开硬纸板，得到图3，请同学观察图3并思考以下问题：（可利用前一个环节所画之图）观察旋转前后的两个图形，你能得出它们有哪些不变性吗？

师生活动：让学生独立思考后，俩人一组用符号语言写出在图图3 中整体和对应要素之间的数量关系和位置关系. 教师追问1：观察旋转前后的两个图形，你能立即得出它们有哪些不变性吗？

教师追问2：总结得到的结论，从三要素出发，对应点的不变性怎么体现？

教师追问3：你认为研究旋转的性质就是研究什么？

教师追问4：你觉得对应元素有哪些？它们在形状、大小、位置关系上有哪些不变性？

设计意图：这里需要“从概念出发思考性质”，也就是要有利用“三要素”研究性质的意识.同时，先从研究图形上的特殊点（直线型的特殊点一般是其顶点）的变换过程出发，由点到形、由特殊到一般的去研究整体，并了解类似问题的基本研究套路.这里还可以体现思考的有序性(逻辑性).由一组对应点的性质(即对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角)，再到两组对应点的性质(即两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等).教师适当引导，要让学生知道：“性质是变化中的不变性”、“旋转的性质就是旋转前后两个图形的关系”，就是这两个图形的形状、大小关系和位置关系；研究一个数学对象的性质，要充分利用确定这个对象的要素.明确研究性质的方向. 教师追问5：怎样验证上述猜想的正确性？这一发现对于任意三角形的任意旋转都成立吗？

师生行为：教师出示问题，首先，学生从整体到局部对旋转的性质进行归纳概括；然后，5

通过平台中软件的度量功能，帮助学生进行验证猜想的正确性，以及通过改变旋转中心、旋转角、三角形的形状和大小，让学生观察在变化过程中结论不发生改变，帮助学生认识到结论可以从特殊推广到一般.师生共同讨论性质的条件和结论，教师给出图形，学生用符号语言表示性质. 设计意图：让学生亲身经历性质的发现、概括、验证过程，发展学生归纳概括能力、合情推理能力，同时认识到在图形的运动过程中，对应点所蕴含的不变关系.旋转性质的得出是由归纳得到的，并不要求学生进行严格的证明，但是从数学思维的渗透角度来讲，需要让学生明确归纳得到的性质需要具有普遍性，体会数学中从特殊到一般的归纳方法，所以借助flash演示实现一般化的推广.此外通过对性质的多元表征，加深学生对性质的理解，为后续应用性质作逻辑推理打下基础. 3．画简单图形旋转后的图形

先做数学书P61练习1、2、3 问题5：如图4，E是正方形ABCD中CD边上任意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，你能画出旋转后的图形吗？试一试你有几种方法？

师生活动：教师出示问题，学生独立完成.教师利用信息技术把学生所画在电子白板上呈现的多种解法，并提示学生思考每种解法的依据.最终引导学生认识到画旋转后图形的本质：画出旋转前各顶点的对应点，确定对应点的依据就是旋转的性质. 设计意图：通过较复杂背景下，运用旋转性质画出旋转后的图形，提高学生运用旋转性质的灵活性；通过不同方法的比较，揭示旋转性质在解决旋转问题中的作用..

设计意图：帮助学生进一步理解旋转的性质，巩固简单图形旋转后图形的画法. 4．回顾反思旋转的性质

教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：

(1)旋转的概念是什么？

(2)旋转有哪些性质？从什么出发研究性质？

(3)性质是研究什么？

设计意图：通过反思以上几个问题，使学生对本节课主要内容进行总结，为学生提供发现数学规律的机会，使学生通过实质性数学思考理解概念、掌握性质，意在培养学生“思维的能力”(特别是逻辑思维能力)上的作用也得到了充分发挥. 图4 6

5．作业

教科书习题23.1第1题，第4题.

五、目标检测设计

1.如图5，一块等腰直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'B'C的位置，指出△ABC的旋转中心和旋转角.

设计意图：考查学生是否能从实例中正确得出旋转中心和旋转角.

2.如图6，它可以看作是由一个菱形绕某一点旋转一个角度后，顺次按这个角度同向旋转而得的. ①请你在图中用字母O标注出这一点；

②每次旋转了_______度；

③一共旋转了_______次. 设计意图：考查学生是否能在几何图形中正确得出旋转中心和旋转角.

（第1题）

（第2题）

（第3题）

3.如图7，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，连接AD，把△ACD绕点A顺时针旋转60°.画出旋转后图形，并指出旋转角.

设计意图：考查学生对旋转性质的理解和运用. 7