一元一次不等式与一次函数图象的关系课堂实录【2】

一元一次不等式与一次函数（教学设计）

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：学生已经学习了一次函数和一元一次不等式的有关知识，为本节探究一元一次不等式与一次函数的关系奠定了必要的知识基础。

学生活动经验基础：通过前面相关知识的学习，学生已经会利用一次函数和一元一次不等式解决一些简单的实际问题，感受到了用数学知识解决实际问题的必要性和作用；同时在以前的学习中，通过经历合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，提升了合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教材是学生掌握知识的主要来源，因此备好教材是上好一节课的基础。本节课选自北师大版八年级下册第二章第五节《一元一次不等式与一次函数》，本节内容是在学生学习了一次函数、一元一次不等式后，再从函数的角度对一元一次不等式和一次方程重新进行了分析，渗透了三者之间的关系，利用函数与不等式的结合，培养学生“数形结合”的思想，提高了函数知识分析、解决实际数学问题的能力，帮助学生从整体上认识不等式。

教科书基于学生对一元一次不等式、一元一次方程和一次函数认识的基础上，提出了本课的具体学习任务，本节课的教学目标是：

1.体会一元一次不等式与一次函数的内在联系；

2.利用不等式与函数的关系解决简单的实际问题，初步体验数形结合思想．（重点、难点）

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：探究新知；第三环节：巩固提高；第四环节：课堂小结；第五环节：作业。

第一环节：复习引入

在导入环节，我将采用“温故知新导入法”，像学生提出几个问题！

1

1、解不等式2x－5＞0.______________ 2、一次函数的图象是__________.它与x轴的交点坐标是

_________，与y轴的交点坐标是_______ ；要作一次函数的图象，只需_______点即可. 3、

一次函数

y = 2x –

5它与x轴的交点坐标是_____，与y轴的交点

坐标是

_______. 活动目的：以“旧”引“新”，由原有的知识为基础，利用初中生的好奇心理，激发学生探究新知的兴趣。

第二环节：探究新知

活动内容：

首先，我们来利用一次函数的图象求出相应的一元一次方程的解、一元一次不等式的解集。

1.导探激励

作出函数y=2x－5的图象，观察图象回答下列问题。

（1）x取哪些值时，2x－5=0? （3）x取哪些值时，2x－5＞0? （2）x取哪些值时，2x－5＜0? （4）x取哪些值时，2x－5＞3?

学生活动：先独立思考5分钟，再小组交流2分钟，展示、评价和补充3分钟。

活动目的：通过作函数图象、观察函数图象，进一步理解一次函数的有关知识，让学生从整体上感受利用一次函数图像可以帮助解决一元一次方程、一元一次不等式的问题。

（1）当y=0时，2x－5=0。

∴x=

55, ∴当x=时，2x－5=0。

222

（2）要找2x－5＞0的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y＞0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则555.当x＞时，由y=2x－5可知

y＞0。因此当x＞时，2x－5＞0；

2225（3）同理可知，当x＜时，有2x－5＜0；

2有2x－5=0，解得x=（4）要使2x－5＞3，也就是y=2x－5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x－5相交于一点B（4，3），则当x＞4时，有2x－5＞3。

活动效果：通过小组交流学生可以发现，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于某个实数时即为不等式。

2.想一想

活动内容：

如果y=－2x－5，那么当x取何值时，y＞0?

学生活动：学生先独立思考2分钟，再小组内交流不同的方法2分钟，展示、评价和补充2分钟。

活动目的：通过具体问题让学生初步感受可以运用不等式帮助研究函数问题，体会一次函数与一元一次不等式相互渗透、相互作用，并尝试从不同角度思考解决问题的方法。

首先要画出函数y=－2x－5的图象，如图：

从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每

3

一个的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于－2.5的数，由－2x－5=0，得x=－2.5，所以当x取小于－2.5的值时，y＞0。

也可：因为y=－2x－5，y＞0也就是－2x－5＞0，解不等式即得：x＜－2.5 活动效果：通过完成这题进一步培养了学生的数形结合意识，掌握用图像法解一元一次不等式和构造不等式解决函数问题

3.例题

活动内容：先独立思考5分钟，再小组交流方法2分钟，最后全班展示4分钟。

兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：

（1）何时哥哥分追上弟弟？

（2）何时弟弟跑在哥哥前面？

（3）何时哥哥跑在弟弟前面？

（4）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？

活动目的：感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系。

［解］设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得

y1=4x

y2=3x+9 函数图象如图：

从图象上来看：

（1）9s时哥哥追上弟弟

4

（2）当0＜x＜9时，弟弟跑在哥哥前面；

（3）当x＞9时，哥哥跑在弟弟前面；

（4）弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m; 从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题，在回答第（3）题时，过y

轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m. 活动效果：绝大部分学生都能画出函数图象，并能借助函数图象完成上述问题。也可用列方程找到哥哥追上弟弟的时间，也可直接解不等式解决问题。

第三环节：巩固提高

1.

已知y1=－x+3，y2=3x－4,当x取何值时，y1＞y2？你是怎样做的？与同伴交流. 活动内容：学生独立解答4分钟，展示及评价2分钟。

活动目的:一方面对上环节中解决此类问题的方法进行巩固，另一方面，让学生在自主学习的过程中进一步体验一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合是解决此类问题核心所在. 解：如图所示：

当x取小于

第四环节：课堂小结

活动内容：

通过本节课的学习，你有哪些收获？

活动目的：让学生通过自我反思,增强对相关知识和方法的理解水平。感受到数学7的值时，有y1＞y2. 4

5

的作用。

第五环节：布置作业

习题2.6

四、教学反思

1、虽然前面学生已经接触过一次函数和不等式了，但是要让学生用数形结合的思想将两者联系在一起来理解，对学生来说有点难。所以在教学时，我带着学生复习以前所学过的有关内容，慢慢对学生进行引导。

2、教学设计上，应该根据学生的实际情况，在问题上先设计简单的问题，在学生会将不等式转化为一次函数分析并会用图像来解决时，再增加难度，这样学生更容易接受，时间也好分配。

3、教学过程中要为学生提供展示自己的机会，这样更有利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解，以及思维的误区，以便指导今后的教学。课堂上要把激发学生热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度。

6