公因式为多项式的提公司因式法教案3

4.2提公因式法

（第2课时）

教学目标：

1．进一步理解“公因式”和“提公因式法”的意义，掌握确定公因式的方法．

2．进一步掌握公因式为多项式的因式分解．

3．渗透类比、化归思想，培养学生的观察能力和类比推理能力．

教学重点与难点：

重点：公因式为多项式的因式分解．

难点：准确找出公因式，并能正确进行因式分解．

课前准备：多媒体课件．

教学过程：

一、创设情境，复习引入

问题1：什么是多项式的公因式？如何确定公因式？

问题2：什么是提公因式法？其依据是什么？用提公因式法因式分解的步骤有哪些？

问题3：把下列各式因式分解：

（1）2am－3m；（2）m2n+mn2–mn；（3）–2x2y+4xy2–2xy．

问题4：如何利用提公因式法对多项式a（x－3）+2b（x－3）进行因式分解呢？

1.多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. 确定公因式的方法：（1）当多项式的第一项的系数是负数时，通常先提取“-”号；（2）系数，取多项式各项系数的最大公约数；（3）字母，取多项式各项都含有的相同字母；（4）指数，取相同字母的最低次幂．

2.如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法. 提公因式法的依据是：乘法分配律．

提公因式法的步骤．“一定”：确定公因式，可按“系数大（最大公约数），字母同（各项相同的字母），指数低（相同字母的指数取次数最低的）”；“二提”：将各项的公因式提出来，并确定另一个因式（当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项为1，不要漏项）．

3.（1）m(2a－3)；（2）mn(m+n－1)；（3）-2xy(x-2y+1)

．

总结：上节课我们学习了公因式为单项式的因式分解，今天我们学习公因式为多项式的因式分解．板书课题．

二、例题解析，深化提高

（一）例2

把下列各式因式分解

（1）a(x-3)+2b(x-3) ；（2）y(x+1)+y2(x+1)2．

1．多项式a(x-3)+2b(x-3)可以看做由两大项即a（x－3）和2b（x－3）组成，这两项都含有因式（x－3）,因此可以把（x－3）作为公因式提出来. 2．多项式y(x+1)+y2(x+1)2也可以看作是由两大项y(x+1)和y2(x+1)2组成，这两项都含有因式y(x+1)，因此可以把y(x+1)作为公因式提出来．

解：（1）

a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b)；

（2）

y(x+1)+y2(x+1)2=y(y+1)[1+y(y+1)] =y(y+1)(xy+y+1) 注意：公因式可以是单项式，也可以是多项式，是多项式时应整体考虑直接提出.写因式分解的结果时，单项式要写在多项式的前面.提取公因式后，如果多项式中有同类项，要合并同类项. 牛刀小试：把下列各式因式分解：

（1）

2m(a－b)－3n(a－b)；

（2）x(a+3)－y(a+3)；

（3）7q(p－q)－2p(p－q)；

（4）x(a+b)－y(a+b)+z(a+b)；

（5）p(a2+b2)+q(a2+b2)－r(a2+b2)；

（6）2a(x+y－z)－3b(x+y－z)－5c(x+y－z)．

（二）思考：如何利用提公因式法对多项式a(x-y)+b(y-x)进行因式分解？

1.分析：把多项式a(x-y)+b(y-x)中的a(x-y)和b(y-x)分别看成一项，因为

(x-y)和(y-x)是互为相反数，所以(y-x)=-(x-y)，原多项式a(x-y)+b(y-x)=

a(x-y)-b(x-y)，此多项式的公因式为x-y，可对原多项式进行因式分解．

2.解：

a(x-y)+b(y-x)= a(x-y)-b(x-y)=

(x-y)(a-b)．

同学们回答的很好，结合对本题的研究，你能对下面两个多项式因式分解吗？

例3

把下列各式因式分解

（1）2(a-3)2-a+3；

（2）6(m-n)2-12(n-m)3．

解：（1）2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1] =(a-3)(2a-6-1)=(a-3)(2a-7).

（2）6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12[-(m-n)]2

=6(m-n)3-12(m-n)2 =6(m-n)2(m-n-2) .

（三）做一做

1.请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”，使等式成立. （1）2-a=

(a-2)； （2）b+a= (a+b)； （3）(b-a)2= (a-b)2； （4）-m-n= (m+n)； （5）-s2+ t2= (s2- t2)； （6）(p-q)3=

(q-p)3；

2.通过练习你有什么发现？说出来，我们共同分享. 学生自主完成，完成后同桌之间相互交换，比较异同，学生代表发言，教师点评矫正.预设学生回答. 1.-；+；+；-；-；-. 2.（1）n为整数，(y+x)n=(x+y)n．

（2）当n为偶数时，(y－x)n=(x－y)n；当n为奇数时，

(y－x)n=－(x－y)n．

（3）当n为偶数时，(－y－x)n=(x+y)n；当n为奇数时，

(－y－x)n=－(x+y)n．

牛刀再试：

1.说出下列各多项式中各项的公因式：

（1）3m(x－y)－9m2(y－x)2；

（2）8(a－b)2+6(b－a)3；

（3）5m(x－y)2－10m2(y－x)2；

（4）12a3(m－n)3+10a2(n－m)3．

2.把下列各式因式分解：

（1）a(m-2)+b(2-m)；（2）2(y-x)2+3(x-y)；（3）mn(m-n)-m(n-m)2.

三、回顾反思，提炼升华

通过本节课的学习，你有哪些收获？有哪些知识与同学们分享？还有哪些困惑？

四、达标检测，反馈矫正

A组：

1．把2(a－3)+a(3－a)提取公因式（a-3）后，另一个因式是（ ）．

A．a-2

B．a+2

C．2-a

D．2+a

2．下列各式正确的是（ ）．

A．-x+y=-(y-x)

B．x-y=-(x+y)

C．10-m=5(2-m)

D．3-2a=-(2a-3) 3.若a 、b互为相反数，则a(x-2y)-b(2y-x)的值为 .

4.把下列各式因式分解

（1）(a+2b)2-a2-2ab

；

（2）x(x+y)(x-y)-x(x+y)2．

5.先因式分解，再计算求值：

4x(m－2)-3x(m－2)，其中x=1.5，m=6．

B组：

1．如果a2-2ab=-10，b2-2ab=16，那么-a2+4ab-b2的值是（

）．

A．6

B．-6

C．22

D．-22 2．ab2(x-y)m+a2b(x-y)m+1=ab(x-y)m(

)．

3．阅读下面的解题过程，然后回答问题．

分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2．

解：原式=（1+x）[1+x+(x+1)]

=(1+x)[(1+x)+x(1+x)]

=(1+x)2(1+x)

=(1+x)3．

（1）本题提取公因式几次？

（2）若将题目改为1+x+x(x+1)+

…＋x(x+1)2014，需提公因式多少次？结果是什么？

（3）若将题目改为1+x+x(x+1)+

…＋x(x+1)n（n为正整数）呢？

六、布置作业，课后促学

必做题：课本 第98页 习题4.3 第1、2题. 选做题：课本 第98页 习题4.3 第3题.

板书设计：

4.2

提公因式法（2）

例2

例3

投影区

学

生

板

演

区