24.1 圆精品学案

24.2.2 直线和圆的位置关系（2）

教学目标

1.掌握圆的切线的判定定理和性质定理. 2.学生经历思考，探究，归纳，总结得出切线判定方法的过程，培养学生观察，分析，概括的逻辑思维能力. 3.学生经历探究切线的判定定理的过程，培养学生运用数学语言表达问题的能力. 4.学生经历观察，发现，探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又出现在我们的生活，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. 5.通过观察，分析思考，引导学生合理添加辅助线，培养学生的创造力. 教学重点

圆的切线的判定定理和性质定理及其应用．

教学难点

圆的切线的证明即合理的辅助线的添加．

教学过程设计

知识回顾

判定直线

与圆的位置关系的方法有____种：

（1）根据定义，由__________________的个数来判断；

（2）由 _____________________ 的大小关系来判断. 设计意图：本节课是在延续上一节课的内容，温故而知新，复习旧知识的同时，让学生体会学会知识的快乐.也是为引出切线的判定定理打基础的，同时还让学生观察，交流解决问题，让学生感受集体合作的力量，同时也顺利的引出本节课题. 创设情境，新课引入

1、思考：图中直线l满足什么条件时是⊙O的切线？

方法1：直线与圆只有一个公共点

方法2：圆心到直线的距离等于半径

注意：实际证明过程中，通常不采用方法1; 方法2是从“数量关系”的角度说明圆的切线的判定方法. 判定一条直线是不是圆的切线除了这两种方法外还有其它方法吗? 设计意图：引导学生利用已学过的知识解决问题，进行再创造，在发现的教学，教给学生发现问题，提出问题，分析问题，并能解决问题的思路. 2、操作与观察：

在⊙O上任意作一条半径OA，经过半径外端点A作直线l⊥OA. （1）

圆心O到直线l的距离和圆的半径有什么数量关系? （2）直线 l 和⊙O有什么位置关系？ 发现：

在⊙O上任意作一条半径OA，经过半径外端点A作直线l⊥OA. d = r 相切

由此你能得到什么结论？

①直线l经过半径OA的外端点A；

②直线l垂直于半径0A．

则:直线l与⊙O相切 切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 对定理的理解：切线必须同时满足两条： （1）过半径外端；（2）垂直于这条半径． 定理的数学语言表达：

∵ OA是半径，

l

⊥OA于点A ∴

l是⊙O的切线

设计意图：理清命题的题设和结论，才会应用切线的判定定理.让学生学着用数学语言表达问题，培养学生的逻辑思维能力

巩固学习: 1、判断：

(1)过半径的外端的直线是圆的切线（ ）

(2)与半径垂直的直线是圆的切线（ ）

(3)过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（ ）

两个条件缺一不可

归纳:

判定直线与圆相切有哪些方法？

切线的判定方法有三种：

•

①直线与圆只有一个公共点；

•

②圆心到直线的距离等于该圆的半径；

•

③切线的判定定理．即

经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 设计意图：通过三道思考题，进一步加深切线的判定定理中两个条件的认识，缺一不可.培养学生独立思考，探究的方法，锻炼思维的深刻性，形成好的学习习惯. 应用新知: 例1.已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且 OA=OB, CA=CB. 求证：直线AB是⊙O的切线. 证明：连结OC.

∵ OA=OB,CA=CB

∴ OC是等腰△OAB 底边BC上的中线

∴ OC⊥AB

∴ AB是⊙O的切线

证明直线和圆相切的常见类型①

有交点，连半径，证垂直

例2

如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O. 求证：⊙O与AC相切. 证明：过点O作OE⊥AC于E. ∵ AO平分∠BAC，OD⊥AB ∴ OE＝OD

∴ OE是⊙O的半径

∴ AC是⊙O的切线. 证明直线和圆相切的常见类型②无交点，作垂直，证半径

归纳: 比较例1与例2的证明过程 (1)如果已知直线经过圆上一点,则圆心连结该点,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直. (2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：无交点,作垂直,证半径. 设计意图：引导学生初步应用定理，培养学生的应用意识，并巩固知识，例1主要让学生会用切线的判定定理证明，例2是和前面的知识结合在一起，运用数量关系来证明，把这两个题放在一起，让学生通过观察，比较，分析，找出不同，得到辅助线的两种添加方式.培养学生发现问题，分析问题并解决问题，应用所学知识的能力. 思考: 如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？

已知：l与⊙O相切于点A 求证：OA⊥ l 证明：假设OA与l不垂直，

过点O作OM ⊥ l ，垂足为M，

则OM＜OA，

即圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，

因此l与⊙O相交，

这与已知条件“直线l与⊙O相切”

矛盾，

所以OA与l垂直．

所以圆的切线垂直于过切点的半径． 切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径

数学语言： ∵

l与⊙O相切于点A ∴ OA⊥l

设计意图：通过反证法证明圆的切线性质定理，让学生更加深刻的认识并掌握圆的切线的性质，圆的切线一定垂直与经过切点的半径，“有切线就有垂直”，为后面圆的切线相关证明做辅助线奠定了基础.

切线判定定理：

①过半径外端; ②垂直于这条半径. 推出 切线

切线性质定理：

①圆的切线; ②过切点的半径. 推出 切线垂直于半径

设计意图：归纳和梳理整节课的主要知识点，让学生养成及时总结思考归纳的好习惯，为后面的巩固练习充好电，提高做题效率，增强学生学习的信心和兴趣. 巩固练习：

如图, AB与⊙O的直径，直线l1，l2

是⊙O的切线，A、B是切点， l1，l2怎样的位置关系？证明你的结论.

注：应用切线的性质定理得到垂直关系.

例3 已知：△ABC

为等腰三角形，O 是底边

BC

的中点，腰

AB 与⊙O 相切于点

D.

求证：

AC 是⊙O 的切线．

证明直线和圆相切的常见类型②无交点，作垂直，证半径

设计意图：主要是切线的判断方法和性质定理的应用，及时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节课知识的理解，通过练习，及时发现问题，总结做题的方法，尤其是做辅助线的方法，积累做题经验，及时评价教学效果. 课堂小结

1.知识：切线的判定定理(两个条件缺一不可)．

切线的性质定理 2.方法：判定直线与圆相切的三种方法：

①直线与圆有唯一公共点；

②直线到圆心的距离等于该圆的半径；

③切线的判定定理．即

经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. 3.证明切线常见辅助线作法：

有交点，连半径,证垂直. 无交点, 作垂直,证半径

设计意图：通过小结使学生归纳，梳理总结本节课的知识，技能，方法，将本节课所学的知识与以前所学的知识进行紧密乱接，有利于培养学生数学思想，数学方法，数学能力和对数学的积极情感. 补充练习

1、如图, AB与⊙O相切于点B,AB=4,AO=5,则⊙O的半径多少？

注：已知切线、切点，

则连接半径，

应用切线的性质定理得到垂直关系.

2. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D. 求证:AC平分∠DAB

证明：连结OC

∵CD是⊙O的切线∴OC⊥CD 又∵CD⊥AD∴OC∥AD

∴∠1=∠3

又∵OA=OC

∴∠2=∠3 ∴ ∠1=∠2

即AC平分∠DAB 设计意图：课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，是让学生巩固，提高，发展，增加观察作业的目的是让学生发现生活中的数学现象，发现数学美，激发学生学习数学的热情.