1.1 一元二次方程优质课一等奖

课题名称

科

目

教学时间

教学目标

一元二次方程的概念

数学

一课时

年级

九年级

一、情感态度与价值观

1.

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

2.

感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

二、过程与方法

1.

通过观察，归纳一元二次方程概念的教学

2.

使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式。

三、知识与技能

1. 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义。

2. 一元二次方程的一般形式及其有关概念

教学重点、难点

1.一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程有关概念解决问题。

2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。

教学资源

⑴每位学生制作一个无盖方盒

⑵每人一份印刷练习题

⑶教师自制的多媒体课件

⑷上课环境为多媒体大屏幕环境

教学活动1

㈠师生互动，激趣导入

情境创设（大屏幕投影教材24页）：要设计一座2米高的人体雕塑，使雕塑的上部（腰上部）与下部（腰下部）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕塑的下部应设计为多高？

学生根据等量关系：设雕塑下部高xm,于是得方程

X2=2(2－x)整理得X2+2x－4=0，这是什么方程，与以前学过的一元一次方程有什么不同，这节课我们就来学习它---------一元二次方程

教学活动2

㈡问题启发，合作探究

1．问题1（多媒体课件）有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm,那么铁皮各角应切去多大的正方形？

学生结合手中学具思考怎么列方程

如果假设切去的正方形边长为x，那么盒底的长是________，宽是_____，根据方盒的底面积为3600cm，得：_______．

整理，得：________．

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．

2．（出示排球邀请赛图片）

问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

22

单循环比赛是指就表示每个队要和其他所有的队都赛到了，如果有4个队总共赛_______场，5个队呢？8个队呢？n个队呢？

同学们用基本线段法和定点发射法总结规律：

场数=队数×（队数-1）÷2

场数=（队数-1）+（队数-2）+（队数-3）+。。。。。。+1

列方程得x(x－1)÷2=28 整理得X2－x=56解方程可以得出参赛队数。

3．学生活动，叙述概念

请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

4．追问条件，由一般式得出特殊式

（1）为什么a≠0？b和c能等于0吗？（2）特殊式：ax2+bx=0,ax2+c=0

教学活动3

㈢

例题示范，巩固提高

例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项、合并同类项等．

解：去括号，得：

40-16x-10x+4x2=18

移项，得：4x2-26x+22=0

其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．

例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）

将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

巩固练习

教材P27

练习1、2（每组出三名同学在四周黑板写出，分六组）

教学活动4

㈣自我检查，信息反馈

自我测试设计

一、选择题（5×4=20分）

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（

）．

①3x2+7=0

②ax2+bx+c=0

③（x-2）（x+5）=x2-1

④3x2-

=0

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（

）．

A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（

）．

A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数

4．关于x的方程（m2-4）x+mx-m=0是一元二次方程的条件是（）

A．m≠0 B．m≠2 C．m=

-2 D．m≠±2

二、填空题（4×5=20分）

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．

2．关于x的方程（a-1）x+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_________

3．关于x的方程（m+1）x三．应用题（20分）

《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？

如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．

整理、化简，得：__________．

1.学生自己独立完成2.老师给组长副组长打分3.组长给组员打分4．学生交流疑难杂症5.学生总结易错点和方法6.老师作最后强调。

教学活动5

︱m-1︱22+mx-1=0是一元一次方程，则m=________

㈤归纳总结，畅谈收获

本节课要掌握：

（1）

一元二次方程的概念；

（2）

一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．

（3）

定义要条件化：二次项系数不等于0的条件

（4）

利用一元二次方程解决实际生活问题。

教学目标

一、情感态度与价值观

1.

通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情。

2.

感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。

二、过程与方法

1.

通过观察，归纳一元二次方程概念的教学

2.

使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式。

三、知识与技能

1. 通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义。

2. 一元二次方程的一般形式及其有关概念

教学重点、难点

1.一元二次方程的概念及其一般形式和用一元二次方程有关概念解决问题。

2.通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元

二次方程的概念。

教学资源

⑴每位学生制作一个无盖方盒

⑵每人一份印刷练习题

⑶教师自制的多媒体课件

⑷上课环境为多媒体大屏幕环境

教学活动1

教学活动

㈠师生互动，激趣导入

情境创设（大屏幕投影教材24页）：要设计一座2米高的人体雕塑，使雕塑的上部（腰上部）与下部（腰下部）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，雕塑的下部应设计为多高？

学生根据等量关系：设雕塑下部高xm,于是得方程

X2=2(2－x)整理得X2+2x－4=0，这是什么方程，与以前学过的一元一次方程有什么不同，这节课我们就来学习它---------一元二次方程

教学活动2

㈡问题启发，合作探究

1．问题1（多媒体课件）有一块长方形铁皮，长100cm，宽50cm,在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm,那么铁皮各角应切去多大的正方形？

学生结合手中学具思考怎么列方程

如果假设切去的正方形边长为x，那么盒底的长是________，宽是_____，根据方盒的底面积为3600cm，得：_______．

整理，得：________．

老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．

2．（出示排球邀请赛图片）

问题2要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

单循环比赛是指就表示每个队要和其他所有的队都赛到了，如果有4个队总共赛_______场，5个队呢？8个队呢？n个队呢？

同学们用基本线段法和定点发射法总结规律：

场数=队数×（队数-1）÷2

场数=（队数-1）+（队数-2）+（队数-3）+。。。。。。+1

列方程得x(x－1)÷2=28 整理得X2－x=56解方程可以得出参赛队数。

3．学生活动，叙述概念

请口答下面问题．

（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？

（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？

（3）有等号吗？或与以前多项式一样只有式子？

老师点评：（1）都只含一个未知数x；（2）它们的最高次数都是2次的；（3）•都有等号，是方程．

因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，•经过整理，•都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．

22

一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

4．追问条件，由一般式得出特殊式

（1）为什么a≠0？b和c能等于0吗？（2）特殊式：ax2+bx=0,ax2+c=0

教学活动3

㈢

例题示范，巩固提高

例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．

分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此，方程（8-2x）•（•5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括去括号、移项、合并同类项等．

解：去括号，得：

40-16x-10x+4x2=18

移项，得：4x2-26x+22=0

其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．

例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练）

将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项．

巩固练习

教材P27

练习1、2（每组出三名同学在四周黑板写出，分六组）

教学活动4

㈣自我检查，信息反馈

自我测试设计

一、选择题（5×4=20分）

1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（

）．

①3x2+7=0

②ax2+bx+c=0

③（x-2）（x+5）=x2-1

④3x2-

=0

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、•一次项系数和常数项分别为（

）．

A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6

3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（

）．

A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数

4．关于x的方程（m2-4）x+mx-m=0是一元二次方程的条件是（）

A．m≠0 B．m≠2 C．m=

-2 D．m≠±2

二、填空题（4×5=20分）

1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．

2．关于x的方程（a-1）x+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是_________

3．关于x的方程（m+1）x三．应用题（20分）

《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，•两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”

大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，•那么门的高和宽各是多少？

︱m-1︱22+mx-1=0是一元一次方程，则m=________

如果假设门的高为x•尺，•那么，•这个门的宽为_______•尺，•根据题意，•得________．

整理、化简，得：__________．

1.学生自己独立完成2.老师给组长副组长打分3.组长给组员打分4．学生交流疑难杂症5.学生总结易错点和方法6.老师作最后强调。

教学活动5

㈤归纳总结，畅谈收获

本节课要掌握：

（1）

一元二次方程的概念；

（2）

一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）•和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念及其它们的运用．

（3）

定义要条件化：二次项系数不等于0的条件

（4）

利用一元二次方程解决实际生活问题。