1.1.3 四种命题间的相互关系教案和课堂实录

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目标

1.1.3 四种命题间的相互关系

四种命题的概念及相互关系

四种命题的相互关系.

进一步理解命题的概念，了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，

会分析四种命题的相互关系.

互

动

学

习

一、热身训练

1、指出下列命题中的条件与结论，并判断真假。

（1）矩形的对角线互相垂直且平分；

（2）函数yx23x2有两个零点.

2、根据四种命题的概念完成下表：

原命题

逆命题

否命题

若p，则q

逆否命题

二、新课导入：

写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断它们的真假. 问题1：若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数.

问题2：如果x＞10 , 那么x＞0 .

互

动

学

习

问题3：若b2－4ac＝0 , 则方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)有两个相等的实根.

问题4：已知a,b∈R , 若a＝0 , 则ab＝0 .

问题5：若x2－3x＋2＝0 ，则x＝2 .

思考1？

观察上面5个例子中的原命题、逆命题、否命题以及逆否命题，你能说出每个例子中任意两个命题之间的相互关系吗？

四种命题的形式和关系如下图：（教师引导学生归纳给出）

由原命题构成道命题只要将

题只要

和

分别否定为

和

和

换位就可以．由原命题构成否命，但

和

不必换位．由原命题和

否定·

构成逆否命题时不但要将

和

换位，而且要将换位后的

互

动

学

习

原命题为真，它的逆命题不一定为真．

原命题为真，它的否命题不一定为真．

原命题为真，它的逆否命题一定为真．

因为互为逆否命题同真同假，所以讨论四种命题的真假性只讨论原命题和逆否命题中的一个，逆命题和否命题中的一个，只讨论两种就可以了，不必对四种命题形式—一加以讨论．

思考2？

观察上面5个例子中的原命题、逆命题、否命题以及逆否命题，你能说出每个例子中的四种命题的真假性有几种情况吗？

结合上面的5个实例和思考2，你能从中发现四种命题的真假性间有什么规律吗？

知识导读，由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题。

三、典例精析

例

1

证明：若x2＋y2＝0 , 则x＝y＝0 .

四、针对训练

1. 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假. （1）若ab，则acbc；

（2）全等三角形一定是相似三角形；

（3）若x2y20，则x,y全为0；

（4）函数yx23x2有两个零点；

（5）同位角相等，两直线平行；

（6）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.

2、思考？

你认为哪些类型的问题宜用反证法证明？（教师引导学生给出）

答案：以下几种形式的命题常用反证法证明：

（1）某些命题的结论是否定形式，如不是、不能、不存在等；

（2）某些命题的结论以至多、至少、唯一等形式出现；

（3）某些命题的结论的反面非常明显或结论的反面容易证明；

（4）某些命题的直接证法较困难．

3、将下列命题改写成“若p，则q”的形式.并写出它的逆命题、否命题和逆否命题，然后判断它们的真假：

（1）两条直线相交有且只有一个交点；

（2）线段的平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

（3）矩形的对角线相等。

（4）正方形的四条边相等．

（5）若a,b都是偶数，则a+b是偶数

4、

下列各对命题的相互关系怎样，是否等价？

（1）AB和AB；_____________．

（2）BA和AB；_____________．

（3）BA和AB；_____________．

5、命题“若A60，则△ABC是等边三角形”的否命题是（

）

Ａ．假命题

Ｂ．原命题的逆否命题

Ｃ．与原命题的逆否命题同真或同假

Ｄ．与原命题的逆命题同真

6、

用反证法证明命题“23是无理数”时，假设正确的是（

）

Ａ．假设2是有理数

Ｂ．假设3是有理数

Ｃ．假设2或3是有理数

Ｄ．假设23是有理数

7、求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等.