1.1.3 四种命题间的相互关系教案和课堂实录

编号：选修2-1-002

江门一中2019届2017—2018学年度高二数学导学案

四种命题间的相互关系

[学习目标]

1.结合命题真假的判定，考查四种命题的结构(重点、难点)．

2.对条件式的结论进行否定(易错点)．

[知识提炼·梳理] 1．四种命题

一般地，设“若p，则q”为原命题，那么“若q，则p”就叫做原命题的逆命题；“若¬p，则¬q”就叫做原命题的否命题；“若¬q，则¬p”就叫做原命题的逆否命题．

2．四种命题之间的关系

3．四种命题的真假关系

四种命题的真假性，有且仅有下面的四种情况：

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

四种命题的真假性之间的关系如下：

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在四种命题中，只有命题“若p，则q”和若“¬p，则¬q”是互否命题．(

) (2)命题“当AB＝AC时，

△ABC为等腰三角形”，它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是1个．(

)

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(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(

) 解析：(1)错误．其中“若q则p”和“若¬q，则¬p”也是互否命题．

(2)正确．其中只有逆否命题为真命题．

(3)正确．由于原命题与其逆否命题为等价命题；原命题的逆命题与原命题的否命题也为等价命题，故四种命题中正确的个数不可能为奇数，只能为0或2或4.答案：(1)×

(2)√

(3)√

2．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是(

) A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数

B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数

C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数

D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数

答案：B 3．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是(

) A．若A∪B＝B，则A∩B＝A

B．若A∩B≠A，则A∪B≠B

C．若A∪B≠B，则A∩B≠A

D．若A∪B≠B，则A∩B＝A

答案：C 4．命题“若平面向量a，b共线，则a，b方向相同”的逆否命题是______________，它是________命题(填“真”或“假”)．

答案：若平面向量a，b的方向不相同，则a，b不共线

假

5．给出以下命题：

①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；

②“全等三角形一定是相似三角形”的逆否命题；

③“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．

其中为真命题的是________．

解析：3个命题全为真命题．答案：①②③

类型1

四种命题的概念(自主研析) [典例1]

分别写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．

(1)若b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实根；

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(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；

(3) 已知c＞0，若a＞b，则ac＞bc. 解：(1)逆命题：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实根，则b2－4ac＝0.(真命题)

否命题：若b2－4ac≠0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有两个相等的实根．(真命题)

逆否命题：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有两个相等的实根，

则b2－4ac≠0.(真命题)

(2)逆命题：若x＝0或y＝0，则xy＝0.(真命题)

否命题：若xy≠0，则x≠0，且y≠0.(真命题)

逆否命题：若x≠0，且y≠0，则xy≠0.(真命题)

(3)逆命题：已知c＞0，若ac＞bc，则a＞b.(真命题)

否命题：已知c＞0，若a≤b，则ac≤bc.(真命题)

逆否命题：已知c＞0，若ac≤bc，则a≤b.(真命题) 归纳升华

1．写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键是分清楚原命题的条件和结论，若原命题不是“若p，则q”的形式，则更要找准条件和结论．若原命题有大前提，则写其他三种命题时，大前提不变．

2．原命题与逆否命题同真假，逆命题与否命题同真假，故四个命题的真假只需选择其中的两个判断即可．

[变式训练]

写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)设a，b∈Z，若a，b都是奇数，则a＋b是偶数；

(2)如果x＞10，那么x＞0；

(3)当x＝2时，x2＋x－6＝0. 解：(1)逆命题：设a，b∈Z，若a＋b是偶数，则a，b都是奇数，假命题；否命题：设a，b∈Z，若a，b不都是奇数，则a＋b是奇数，假命题；逆否命题：设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a、b不都是奇数，真命题．

(2)逆命题：如果x＞0，那么x＞10，假命题；否命题：如果x≤10，那么x≤0，假命题；逆否命题：如果x≤0，那么x≤10，真命题．

(3)逆命题：如果x2＋x－6＝0，那么x＝2，假命题；否命题：如果x≠2，

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那么x2＋x－6≠0，假命题；逆否命题：如果x2＋x－6≠0，那么x≠2，真命题．

类型2

四种命题的关系

[典例2]

下列命题：

①若“xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．

其中是真命题的是________(填序号)．

解析：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题是“若x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；

④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题为①②③.

答案：①②③

归纳升华

要判断四种命题的真假，首先，要熟练四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

[变式训练]

有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；

②“若a＞b，则a2＞b2”的逆否命题；

③若“x≤－3，则x2－x－6＞0”的否命题；

④“同位角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是________．

答案：1 类型3

逆否命题的应用

[典例3]

证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2. 证明：将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．

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11因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2，所以m2＋n2≠2.

22故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

归纳升华

当证明一个命题是真命题时，若直接证明不好入手，则可以考虑证明其逆否命题为真命题．在本例中，它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”，只要能证明其为真命题，即可达到证明原命题为真命题的目的．

[变式训练]

已知a2－4b2－2a＋1≠0，求证：a≠2b＋1. 证明：原命题的逆否命题是“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”，下证其正确性．由a＝2b＋1得：

a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0显然命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”是真命题，即逆否命题成立，所以原命题正确．即若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：

(1)找出命题的条件p和结论q；

(2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

(3)按照四种命题的结构写出所有命题．

2．每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论．

3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．

A级

基础巩固

一、选择题

1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是(

) A．若一个数是负数，则它的平方不是正数

B．若一个数的平方是正数，则它是负数

C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数

D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数

解析：将原命题的条件和结论互换位置即得逆命题，则原命题的逆命题为

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“若一个数的平方是正数，则它是负数”．

答案：B 2．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是(

) A．若a∉A，则b∉B

C．若b∈B，则a∉A

B．若a∈A，则b∉B

D．若b∉B，则a∉A

解析：命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．注意“∈”与“∉”互为否定形式．答案：B 3．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是(

) A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数

D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数

解析：命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．注意“是”的否定为“不是”，“＜”的否定为“≥”．答案：A 4．下列四个命题中，真命题为(

) ①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则关于x的方程x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题．

A．①②

B．②③

C．①③

D．③④

答案：C 5．与命题“在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq”为互逆命题的是(

) A．在等差数列{an}中，若m＋n≠p＋q，则am＋an≠ap＋aq

B．在等差数列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q

C．在等差数列{an}中，若am＋an≠ap＋aq，则m＋n≠p＋q

D．在等差数列{an}中，若m＋n≠p＋q，则am＋an＝ap＋aq

答案：B

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二、填空题

6．命题“各位数字之和是3的倍数的正整数可以被9整除”，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中假命题是__________________，真命题________________________________．

答案：原命题、逆否命题；逆命题、否命题．

7．下列命题：

①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题．

其中是真命题的是________(填序号)．

解析：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“x、y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2＞bc2，则a＞b”的逆命题是“若a＞b，则ac2＞bc2”，是假命题．所以真命题是①②③.

答案：①②③

8．有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的否命题；

②“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；

③“对顶角相等”的逆命题．

其中真命题的个数是________．

答案：1 三、解答题

9．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．

解：因为m>0，所以12m>0，所以12m＋4>0.

所以方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.

所以原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．

又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0

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班级：

学号：

姓名：

有实数根”的逆否命题也为真命题．

10．已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．

(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

解：(1)逆命题：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，

则a＋b≥0，真命题．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.

因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

所以f(a)

所以f(a)＋f(b)

所以逆命题为真命题．

(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)

因为原命题与其逆否命题等价，

所以可证明原命题为真命题．

因为a＋b≥0，所以a≥－b，b≥－a.

又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)．

所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，

即原命题为真命题．所以逆否命题为真命题．

B级

能力提升

1．(2014·陕西卷)原命题为“若an＋an＋1

) A．真、真、真

C．真、真、假

B．假、假、真

D．假、假、假

an＋an＋1解析：

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解析：原命题为真，逆命题为假，故由四种命题的真假关系知，这3个命题中有1个是真命题．答案：1 3．证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. 证明：法一：原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)

若a＋b<0，则a<－b，b<－a，

又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a)

f(b)

即逆否命题为真命题．所以原命题为真命题．

法二：假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，

又因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，

所以f(a)

所以f(a)＋f(b)

这与已知条件f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)相矛盾．

因此假设不成立，故a＋b≥0.

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