3.1.3 导数的几何意义优秀教学设计范文

§3．1．3 导数的几何意义

【学情分析】：

上一节课已经学习了导数定义，以及运用导数的定义来求导数。

【教学目标】：

1.了解曲线的切线的概念

2.掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法．

3.并会求一曲线在具体一点处的切线的斜率与切线方程

【教学重点】：

理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义.光滑曲线的切线斜率是了解导数概念的实际背景．导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法. 【教学难点】：

发现、理解及应用导数的几何意义,会求一条具体的曲线在某一点处的切线斜率. 【教学过程设计】：

设计

教学活动

意图

圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线

(1)复习引入

曲线的切线

为课题引如图，设曲线c是函数yf(x)的图象，点P(x0,y0)是入作曲线

c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的铺垫.

切线

y切线

Ox如图，设曲线c是函数yf(x)的图象，点P(x0,y0)是曲线

c 上一点作割线PQ当点Q 沿着曲线c无限地趋近于点P，割线PQ无限地趋近于某一极限位置PT我们就把极限位置上的直线PT，叫做曲线c在点P 处的切线

yy=f(x)

POxMQy

x

2.确定曲线c在点P(x0,y0)处的切线斜率的方法：

因为曲线c是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ的倾斜角为，切线PT的倾斜角为，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ的斜率tan,即

limtan=x0f(x0x)f(x)ylim

xx0x指导学生理解导数的几我们可以从运动的角度来得到切线，所以可以用极限来定义切线，以及切线的斜率.那么以后如果我们碰（2）讲解导数的几何意义

到一些复杂的曲线，也可以求出它在某一点处的切线了. 3．说明：(1)y是函数yf(x)对自变量x在x范x何意义，可以讨论

围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）及点(x0x,f(x0x)）的割线斜率. f(x0x)f(x0)lim(2)导数f/(x0)是函数yf(x)在点x0xx0的处瞬时变化率，它反映的函数yf(x)在点x0处变化的快慢程度.它的几何意义是曲线yf(x)上点（x0,f(x0)）处的切线的斜率因此，如果yf(x)在点x0可导，则曲线yf(x)在点（x0,f(x0)）处的切线方程为

yf(x0)f/(x0)(xx0)

例1、曲线的方程为y=x2+1，那么求此曲线在点P(1，2)处的切线的斜率，以及切线的方程. 解limy：k=y=x2+1y=2xx0f(x0x)f(x0)

xP(1,2)Oxf(1x)f(1)(1x)21(121)limlimx0x0xx

(x)22xlimlim(x2)2

x0x0x通过例子，∴切线的斜率为2. (3)

讲解切线的方程为y－2=2(x－1)，即y=2x.

范例

程. 例2、求曲线f(x)=x3+2x+1在点(1，4)处的切线方更深入理解导数的解:k=yy=5x-1y=x3+2x+1概念

f(x0x)f(x0)f(1x)f(1)limlimx0x0xxP(1,4)

(1x)32(1x)1(13211)limx0xOx

5x3(x)2(x)3limx0xlim[53x(x)2]5

x0

∴切线的方程为y－4=5(x－1)，

即y=5x－1 例3、求曲线f(x)=x3－x2+5在x=1处的切线的倾斜角. 分析：要求切线的倾斜角，也要先求切线的斜率，再根据斜率k=tana，求出倾斜角a. 解：∵tana=limx0f(x0x)f(x0)f(1x)f(1)

limx0xx1311(1x)3(1x)25(15)3

lim3x0x1(x)3x1lim[(x)21]1

lim3x03x0x

∵a∈［0，π)，∴a=π. ∴切线的倾斜角为π.

3434

(4)课堂小

导数的几何意义，怎么求曲线的切线。

结

补充题目:

1．导数f/(x0)的本质是什么？请写数学表达式。导数的本质是函数f(x)在

处的

即：

２．函数f(x)平均变化率像中画出来。

f(x)

f(x0x)f(x0)的几何意义是什么，请在函数图x

f

(

x

0x)f(x0)1）平均变化率的几

y

x

f(x0)

O

x0

x

3．导数f/(x0)的几何意义是什么？导数f/(x0)的几何意义是

4．在函数h(t)4.9t26.5t10的图像上，（1）用图形来体现导数h/(1)3.3，

并用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线h(t)h/(0.5)1.6的几何意义，在t0,t1,t2.

x0何意义：