3.1.3 导数的几何意义教学设计实例

3．1.3

导数的几何意义

一、教学目标：

1、掌握导数的几何意义

2、能用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程

二、新知简介：

1．导数的几何意义

(1)几何意义：是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．

(2)切线方程：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．导函数的定义

对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim

Δx→0f（x＋Δx）－f（x）．

Δx三、课前检测

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．(

) (2)函数f(x)＝x2的导数是f′(x)＝2x.(

) π2．在曲线y＝x2上的一点________处的切线倾斜角为.(

) 4A．(0，0)

11C.4，16

B．(2，4) 11D.2，4

3．若函数f(x)在点A(1，2)处的导数是－1，那么过点A的切线方程是________．

四、探究典例

探究点一

求曲线的切线方程

2

求曲线f(x)＝y＝在点(－2，－1)处的切线方程．

x2[解]

因为y＝，

x22－x＋Δxxf（x＋Δx）－f（x）所以y′＝lim

＝lim

ΔxΔxΔx→0Δx→0－2·Δxx（x＋Δx）2＝lim

＝－2，

xΔxΔx→0因此曲线f(x)在点(－2，－1)处的切线的斜率

21k＝－2＝－.

2（－2）1由点斜式可得切线方程为y＋1＝－(x＋2)，

2即x＋2y＋4＝0.

求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程的步骤

(1)求出函数y＝f(x)在x0处的导数f′(x0)，得到切线的斜率k＝f′(x0).

(2)根据直线的点斜式方程，得到切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

511，－，求过点P的切线的斜率．

1.已知曲线y＝x2－3上一点P221解：y＝x2－3，

2121（x＋Δx）2－3－2x－32所以y′＝lim

ΔxΔx→01（Δx）2＋x·Δx2＝lim

ΔxΔx→01x＋Δx＝x.

＝lim

2Δx→0所以y′|x＝1＝1.

51，－的切线的斜率为1. 所以过点P2探究点二

求曲线的切点

4

在曲线y＝2上求一点P，使得曲线在该点处的切线分别满足下列条件．

x(1)倾斜角为135°；

(2)平行于直线y＝x＋1. 22444x0－4（x0＋Δx）[解]

设点P的坐标为(x0，y0)，则Δy＝－2＝＝2（x0＋Δx）2x0x20（x0＋Δx）－8x0Δx－4（Δx）2Δy－8x0－4ΔxΔy8x08，所以＝，所以lim

＝－4＝－3，即f′(x0)＝－2222x0x0x0（x0＋Δx）Δxx0（x0＋Δx）ΔxΔx→08.

x30(1)因为切线的倾斜角为135°，

所以f′(x0)＝tan 135°＝－1，

8所以－3＝－1，所以x0＝2，则y0＝1，即P(2，1)．

x0

8(2)因为切线与直线y＝x＋1平行，所以由导数的几何意义知f′(x0)＝1，即－3＝1，所以x0x0＝－2，则y0＝1，即P(－2，1)．

在本例条件下，求切线垂直于直线2x－16y＋1＝0的切点P的坐标．

－2＝－1，解：设P(x0，y0)，因为切线与直线2x－16y＋1＝0垂直，所以有f′(x0)·－1681即－3·＝－1，所以x0＝1，则y0＝4，即P(1，4)．

x08

求曲线切点坐标的步骤

(1)设切点：先设出切点坐标(x0，y0)．

(2)求斜率：求切线的斜率f′(x0)．

(3)列方程：由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0.

(4)求切点：因点(x0，y0)在曲线上，将(x0，y0)代入曲线方程求y0，得切点坐标.

x21

2.已知曲线y＝的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为(

) 42A．1

C．3

B．2 D．4 （x＋Δx）2x2－44xx1解析：选A.切线的斜率k＝lim

＝，则＝，所以x＝1，即切点的横222ΔxΔx→0坐标为1. 探究点三

导数几何意义的综合应用

1

求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．

x1x＝1，y＝x，[解]

由得

y＝1，y＝x2，1所以曲线y＝和y＝x2的交点坐标是(1，1)．

x11－x＋Δxx1y＝的导数为y′＝lim

xΔxΔx→0－Δx（x＋Δx）x1＝lim

＝－2，

xΔxΔx→0所以y′|x＝1＝－1，切线的方程是y＝－x＋2.

（x＋Δx）2－x2y＝x的导数为y′＝lim

＝2x，

Δx2Δx→0

y′|x＝1＝2，切线方程为y＝2x－1.

1两条切线与x轴的交点坐标分别为(2，0)和2，0，

133故它们与x轴所围成的三角形的面积S＝××1＝. 224

利用导数的几何意义处理综合问题的两种思路

(1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．

(2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标是常设的未知量.

3.若抛物线y＝4x2上的点P到直线y＝4x－9的距离最短，求点P的坐标．

解：由点P到直线y＝4x－9的距离最短知过点P的切线与直线y＝4x－9平行．

设P(x0，y0)，

Δy4（x＋Δx）2－4x2y′＝lim

＝lim

ΔxΔxΔx→0Δx→0＝lim

(8x＋4Δx)＝8x，

Δx→0所以点P处的切线斜率为8x0，8x0＝4，且y0＝4x20，

1得x0＝，y0＝1，

21所以点P的坐标为2，1. 五、课堂小测：

1．抛物线y＝x2在点(1，1)处的切线方程是(

) A．2x－y＋3＝0

C．2x－y＋1＝0

B．2x－y－3＝0 D．2x－y－1＝0 解析：选D.对于y＝x2，由导数定义可得y′＝2x.

所以y′＝2x＝2，

y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.

2．若曲线f(x)＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于(

) A．1

1C．－

21B.

2D．－1 a（1＋Δx）2－a×12解析：选A.因为f′(1)＝lim

ΔxΔx→0

2aΔx＋a（Δx）2＝lim

＝lim

(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1. ΔxΔx→0Δx→03．若函数y＝f(x)的图象在点P(4，f(4))处的切线方程是y＝－2x＋9，则f(4)＋f′(4)＝________. 解析：由导数的几何意义知，f′(4)＝－2，又点P在切线上，则f(4)＝－2×4＋9＝1，故f(4)＋f′(4)＝－1.

答案：－1 4．求过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线．

解：曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线斜率

3（1＋Δx）2－4（1＋Δx）＋2－3＋4－2k＝y′|x＝1＝lim

ΔxΔx→0＝lim

(3Δx＋2)＝2.

Δx→0所以过点P(－1，2)的直线的斜率为2，

由点斜式得y－2＝2(x＋1)，

即2x－y＋4＝0.所以所求直线方程为2x－y＋4＝0.