习题2.1教学设计实例

《曲线轨迹方程的求法复习课》教学设计

黄娴

一、高考要求

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点。

二、学情分析

本节课在高三（8）班上复习课，虽然是复习课，但学生对求曲线的轨迹方程问题还是比较生疏，所以复习时，从最简单的方法入手解题，循序渐进。轨迹方程的求法有直接法、代入法、定义法、待定系数法、参数法等，分两节课来完成。今天这是第一节，主要复习前三种方法。

三、教学目标

掌握求轨迹方程的基本方法，能根据所给条件，选择适当方法求轨迹方程. 四、教学重难点

重点：熟练掌握求轨迹方程的基本方法

难点：几何条件的代数化

五、教学过程

（一）创设情景、导入新课

求轨迹方程是解析几何最基本，最重要的课题之一。是用代数方法研究几何问题的基础。这类问题把基本知识、方法技巧、逻辑思维能力、解题能力融为一体，是历届高考重点考察的重要内容之一。本节课，我们将对求轨迹方程的基本方法，做系统的总结。

（二）问题探究、提炼方法

2例1、设圆C的方程为x-1y1，过原点O作圆的任意弦ON，求弦ON中点M2的轨迹方程。

分析：这是一道典型的求轨迹方程的题目，它有很多切入点，可以用各种求轨迹方程的方法求解，考虑到学生的认知水平，本题讲解时只采用两种方法解题。

解法一：（直接法）设弦中点M的坐标为（x，y），已知O（0，0），圆心C（1，0），由题意知，OM⊥CM，得KOM·KCM=－1，即，－x = 0．即(x1)2y21

24解法二：（代入法）设弦中点M的坐标为（x，y），弦的另一个端点为N(x’，y’)，所以，yy1，M点的轨迹方程为x2＋y2xx1x2x,y2y，又因为N在圆上，所以，(2x1)2(2y)21，整理得，轨迹方程为

11(x)2y2

24讲解完，反馈：

1、“直接法”解题步骤：

(1)建系: 建立直角坐标系；

(2)设点: 设所求动点P(x,y); (3)列式: 根据条件列出动点P满足的关系式; (4)化简: 化简方程；

(5)检验：检验所得方程的纯粹性和完备性, 多余的点要剔除,不足的点要补充。

适应类型：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系题型。

2、“代入法”解题步骤：

（1）设两点：设所求动点 P坐标 (x,y)，再设与P相关动点坐标为Q(x0,y0)，

（2）列两式：列出关于P，Q之间的坐标关系式，

（3）反解：用x,y表示出x0,y0 （4）代入化简：把x0,y0代入已知曲线方程中,化简即得所求轨迹方程. 适用类型：所求动点随已知曲线动点运动而运动题型。

注意：

（1）

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 （2）

要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念

0),B(5，0),边AC,BC所在直线的斜率针对训练1、

ABC的两个顶点坐标分别是A(5，

9之积等于,求顶点C的轨迹方程.

25针对训练2、已知圆xy4，从圆上任意一点M向x轴作垂线段MN，N为垂足，求线段MN的中点P的轨迹方程.

例2、已知圆A：(x+2)2+y2=1与点B（2，0），且△PAB的周长为10，求动点P的轨迹方程.

分析：本题直接由题意即可列出等式，故可用“直接法”解题，但在化简过程中，发现式子较难化简，因此引出第三个求轨迹方程的方法：“定义法”

解法一：“直接法”

略

解法二：“定义法”(1)根据题意，知|PA|+|PB|+|AB|=10，即|PA|+|PB|=6＞4=|AB|，

由椭圆的定义可知，故P点的轨迹就是以点A,B为焦点的椭圆。

且2a=6，2c=4，即a=3，c=2，b=5

，

22x2y21

（y≠0）

因此其方程为95讲解完，反馈：

3、“定义法”解题步骤：

（1）分析题设几何条件，根据所学曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线；

（2）直接根据该曲线求出方程. 适用类型：可用曲线定义判断出动点轨迹曲线的题型

回顾学过的曲线的定义：

①平面内到一定点A的距离等于定长r的动点P的轨迹是圆，即PAr

②平面内到两定点F1,F2的距离的和为常数（大于F1F2）的动点P的轨迹是椭圆

即PF1PF22a（2aF1F2）

③平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点P的轨迹是双曲线

即PF1PF22a（2aF1F2）

④平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点P的轨迹是抛物线

即PFd （d为点P到直线l的距离）

针对训练3、在平面直角坐标系xOy中，点P到两圆C1与C2的圆心的距离之和等于4，其中C1：x2y223y20，C2：x2y223y30，设点P的轨迹为C．求C的方程.

六、课堂小结 1、掌握求轨迹方程常用的几种方法，并能正确地识别它们。 2、

做题时，要注意抓住题目特征，才能合理选择方法，找到最简捷的解法。 3、

注意检验结果是否符合题意。

七、课后作业

1、（2013年全国新课标I卷，20）已知圆M:(x1)y1，圆N:(x1)y9，动圆P与圆M外切并且与圆N

内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程

2、（2014年全国新课标I卷，20）已知点P(2,2)，圆C:xy8y0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，求M的轨迹方程

222222223、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆

(x1)y4 上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状

4

、△ABC中，A为动点，B、C为定点，B(－求动点A的轨迹方程。

aa1,0),C(,0)，且满足条件sinC－sinB=sinA,222