5.3 同角三角比的关系和诱导公式教学教案设计

5.3 同角三角比的关系

教学目标

1. 理解同角三角比的关系，会用同角三角比关系求三角比值；

2. 培养观察、归纳、推理、变形的能力；

3.

体验公式推导的过程，激励学生以严谨的科学态度处理问题. 课型：授新课

教师：何正华

教学重点: 同角三角比关系的推导.

教学难点：

同角三角比关系的变形应用.

教学设计思路：

本节内容是在学习了任意角三角比定义的基础上来探究同角三角比之间的恒等关系.授课班级学生是建平中学高一理创班的学生，学习能力强且具有发散性思维，所以教学过程中更侧重学生的自主探究，教师进行适当的引导.本课的教学思路围绕着教学重点展开：通过问题导入新课，让学生去思考锐角三角比中的平方关系能否扩展到任意角，经历从特殊到一般的过程，进而激发学生利用三角比的定义去寻找同角三角比的其他关系，培养观察、归纳、推理、变形的能力.通过合作讨论从多个角度去解读8个恒等式，加深对公式的理解和巩固.例题的设计上难易度层次递进，围绕着教学难点。本节课最后的归纳总结，除了对本节所学习的知识和技能进行回顾外，更重要的是鼓励学生去发现数学的美，学会去寻找数学和生活中变与不变的一些关系.

教学过程

一．导入新课

1.提问：sin30cos30_________?是怎么得到的？

那么

sin35cos35_________?

初中学习了sincos1，在锐角范围内等式成立,那么

2220202020sin21900cos21900如果计算呢？

这不是锐角三角比，这是任意角的三角比.什么是任意角的三角比呢？

复习任意角三角比的定义：用终边上的任意一点的坐标来定义.已知角终边上的一点1

Px,y，rx2y20，则角的六个三角比分别是：

sinyxyrxr，cos，tan，cot，sec，csc. rrxxyy22证明：sincos1. 证yxx2y2r2,sin2cos21. rr2222我们把恒等式sincos1成立的条件推广到了任意角. 提问：这6个三角比之间还有没有其他的关系呢？

设计意图1：学生通过初中锐角三角比的学习，知道了正弦和余弦的平方和等于1，本节课先从这个关系入手，体现初高中知识的衔接. 设计意图2：通过发现同角三角比的一个关系，鼓励学生去发现更多的不变关系. 二．学习新知：

1.公式探索

活动过程1：学生通过自主观察、推理，找出一系列同角三角比之间的关系. 活动过程2：学生利用三角比的定义或其他证明方法验证所找到的同角三角比关系是成立的的. 活动过程3：将所得到的同角三角比的关系进行分类. 设计意图：发挥学生独立思考，发现问题和解决问题的能力，让学生成为课堂的主体.

sincsc1（1）倒数关系

cossec1

tancot1sincos（2）商数关系

coscotsintan

sin2cos21（3）平方关系

1tansec22

1cot2csc2

2

活动过程1：我们刚才的分类是从等式结构的角度（运算特点）将等式分成了三类，同学们能不能换个角度观察一下上面等式还有什么特征？

提示:观察一个等式，我们可以从哪些角度出发？

设计意图：通过设问让学生从多个角度去认识同角三角比之间的等式关系，并且引出已知一个三角比能不能求其他三角比. 活动过程2：学生讨论，已知一个三角比可以求出其他的三角比吗？

设计意图：学生通过讨论探究已知一个角的三角比求其他三角比的过程，加深对同角三角比关系的认识. 2．公式应用

例1.已知cos4，且是第四象限的角，求角的其他三角比的值．

5设计意图：本题让学生掌握如果已知一个角的三角比我们可以利用同角三角比的关系求出其他三角比，并且三角比的符号是由角所在的象限确定的.老师板通过书，规范解题的步骤. 解：由sincos1，

可得sin1cos2. 22是第四象限角，有sin0.于是有

34sin1cos21,

552tancotseccsc

3sin35，

4cos4514，

tan315，

cos415. sin34，求角的其他三角比的值．

5例2.已知cos设计意图：培养学生分类讨论的意识，当只给出角的一个三角比时，其余的三角比情况不唯一，需要根据角终边所有可能情况进行分类讨论. 解：由sincos1，

223

可得sin1cos229. 25因为cos0，所以是第一象限角或第四象限角. 10当是第一象限角，有sin0.于是有

34sin1cos1,

5522314sin53，

tan，cottan3cos4451515sec，csc. cos4sin320.当是第四象限角，有sin0.于是有

34sin1cos21,

552314sin3，

tan5，cot4tan3cos451515sec，csc. cos4sin3

练一练.已知tan5，求sin,cos．

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设计意图：本题应用于当堂反馈与巩固，检查学生是否能够灵活运用同角三角比的倒数关系，商数关系和平方关系，以及公式的变形应用.

解:因为1tansec22215tan,又，所以

12cos212cos. 2135112因为tan1250,所以是第一象限角或第三象限角. 12当是第一象限角时，有sin0且cos0，可得

cos1252，

sin1cos；

13134 当是第三象限角时，有sin0且cos0，可得

cos125，

sin；

1313注意：sintancos来计算.

例3．已知cotkk0，求sin,cos. 设计意图：给定的三角比从数字变成字母，让学生对分类讨论的标准有更清楚的认识. 解：因为1cotcsc又cotk，

所以sin2221，

2sin1

1k2cotkk0，

角的终边不在坐标轴上. 当是第一象限或第二象限角时，

1k2sin，

221k1k1k1k2. cossincot21k当是第三象限或第四象限角时，

1k2sin，

221k1k1k1k2. cossincot21k

三．课堂练习

1．根据下列条件，求角其他三角比的值：

（1）已知sin1，并且是第三象限的角；

3（2）已知cos2．已知cos

25，并且是第二象限的角．

59，且是第四象限角，求cot．

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3．已知cot

四．课堂总结

1.6个三角比之间的三种关系；

2.同角三角比的8个公式的运用；

3.学会从公式的结构，运算，角，成立的条件等多个角度观察；

4.变与不变的关系.

五．课后作业

有效作业5.3（1）. 1，求sin,cos,tan．

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