2.5 圆锥曲线的统一定义教案和课堂实录

课时3 等差数列

选编：王芳 审核：储六春

【知识梳理】

1．等差数列的定义

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：（及其推导方法）

＝____________，__________ (m，n∈N)．

(2)前n项和公式：（及其推导方法）

* ＝______________＝________________＝_________________. 3．等差数列的性质

*(1)若m＋n＝p＋q (m，n，p，q∈N)，则有________________，

特别地，当m＋n＝2p时，______________ (2)等差数列中，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列．

(3)等差数列的单调性：若公差d>0，则数列为________；

若d<0，则数列为_________；若d＝0，则数列为_____．.

(4)S2n-1=________________

(5)=a1+(n-1)，所以也是_＝_______，首项为____，公差为.

4.等差数列的证明

【例题精讲】： 例1 (2015·太原期末)设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知a2+a5=1，S15=75，Tn为数列(1)求Sn；

的前n项和.

(2)求Tn及Tn的最小值.

3例2 已知数列{an}中，a1＝5，* (n≥2，n∈N) * 数列{bn}满足 (n∈N)．

(1)求证：数列{bn}是等差数列；

(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．

例3 若一个等差数列的前5项之和为34，最后5项之和为146，且所有项的和为360，求这个数列的项数．

变式迁移

已知数列{an}是等差数列．

(1)若Sn＝20，S2n＝38，求S3n；

(2)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．

例4 (2014·湖北卷)已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1，a2，a5成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和，问：是否存在正整数n，使得Sn>60n+800?若存在，求出n的最小值；若不存在，请说明理由.

变式迁移

在等差数列{an}中，，其前n项和为Sn. (1)求Sn的最小值，并求出Sn取最小值时n的值．

(2)求

例5、设等差数列(Ⅰ)求公差(Ⅱ)指出 ,的前项和为，已知，，

的取值范围；

,…,，中哪一个值最大,并说明理由

【课堂作业】

1、已知{an}是等差数列，a1＝－9，S3＝S7，那么使其前n项和Sn最小的n是__．

2、等差数列{an}的前n项和满足S20＝S40，下列结论中正确的序号是 ．

①S30是Sn中的最大值； ②S30是Sn中的最小值；

③S30＝0； ④S60＝0. 3、设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝3，S6＝24，则a9＝________. 24、等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－am＝0，S2m－1＝38，则m_____. 5、在数列{an}中，若点(n，an)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝________. 6、设{an}是一个公差为d (d≠0)的等差数列，它的前10项和S10＝110，

2 且a2＝a1a4. (1)证明：a1＝d；

(2)求公差d的值和数列{an}的通项公式．

7、已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn；

2*(2)令bn＝－1 (n∈N)，求数列{bn}的前n项和Tn. 8、在数列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．

1(1)证明数列{an}是等差数列；

(2)求数列{an}的通项；

1(3)若λan＋an＋1≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

课时4 等比数列

选编：王芳 审核：储六春

【知识梳理】

1．等比数列的定义

2．等比数列的通项公式（及其推导方法）

设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝____________. 通项公式的推广：an＝am·________ (n，m∈N*)．

3．等比数列的前n项和公式（及其推导方法）

4．等比数列前n项和的性质

（1）等比中项：

如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．

(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N*)，则__________________．

且k＋l＝2m（k，l，m∈N*)，则__________________．

（3）公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．

5.等比数列的证明

【例题精讲】

例1

(2015·苏州、无锡、常州、镇江、宿迁一调)已知等比数列{an}的各项均52a为正数，若a4=2，a2+a4=16，求数列{an}的通项公式.

例2

已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*. (1)证明：数列{an＋1}是等比数列；

(2)求{an}的通项公式以及Sn.

例3

在等比数列{an}中，a1a2a3a4a58，且111112，求a3

a1a2a3a4a5

变式迁移

(1)已知等比数列{an}中，有a3a114a7，数列{bn}是等差数列，且b7a7，

求b5b9的值；

(2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a41,a13a14a15a168，

求a41a42a43a44

例4、设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6 560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．

1例5、已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=2，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列. (1)求等比数列{an}的通项公式及前n项和Sn；

(2)对n∈N，在an与an+1之间插入3个数，使这3+2个数成等差数列，记插入的这3个数的和为bn，求数列{bn}的前n项和Tn.

变式迁移：等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32. *nnn

(1) 求数列{an}的通项an与前n项和Sn；

Sn(2) 设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．

n

【课堂作业】

1、在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，

则a3＋a4＋a5＝________. 2、等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，

那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是________．

S10＝________. S54、在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3a6a9a99=

3、记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则5、在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，

则该数列的通项公式an＝________. 6、已知数列{an}共有2k项(k≥2)，数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=(p-1)Sn+2(n=1，2，…，2k-1)，其中常数p>1．

(1)求证：数列{an}是等比数列.(2)若p=22k)，求数列{bn }的通项公式.

7、已知数列{log2(an－1)}为等差数列，且a1＝3，a2＝5. (1)求证：数列{an－1}是等比数列；

111(2)求＋＋…＋的值．

a2－a1a3－a2an＋1－an

8、设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=9，S6=36. (1) 求数列{an}的通项公式. (2) 是否存在正整数m，k，使得am，am+5，ak成等比数列?若存在，求出m和k的值；若不22k-1，数列{bn}满足bn=1log2(a1a2…an)(n=1，2，…，n

存在，请说明理由.