2.3.1 双曲线的标准方程教案1

普通高中课程标准试验教科书

《数学》选修2-1

苏教版P36P38

yMF1OF2x圆A

江苏省扬州中学 张慧玲

[教学设计] 一、教材分析：

1.教材地位

本节课是苏教版选修2-1 第2章

第三节第一课时.它是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做铺垫. 2.教材作用（重要模型，数形结合）

圆锥曲线是一个重要的几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有着广泛的应用.同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材. 本节教材仍是继续训练学生用坐标法解决方程与曲线有关问题的重要内容，对它的教学将帮助学生进一步熟悉和掌握求曲线方程的一般方法.双曲线的定义和标准方程是本节的基本知识，所以必须掌握.而掌握好双曲线标准方程的推导过程又是理解和记忆标准方程的关键.应用双曲线的有关知识解决数学问题和实际应用问题是培养学生基本技能和基本能力的必要环节.坐标法是中学数学学习中必须掌握的一个重要方法，它充分体现了化归思想、数形结合思想，是用以解决实际问题的一个重要的数学工具.双曲线和其方程分属于几何和代数这两个分立的体系，但是通过直角坐标系人们又将它们很好地结合在一起.

二、学情分析：

1.知识方面：学生已经学习椭圆，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会. 2.能力方面：学生在椭圆学习的基础上类比得出双曲线的定义及标准方程的推导、有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，且有一定的群体性小组交流能力与协同讨论学习能力.

三、目标分析

1.知识与技能目标

（1）理解双曲线的定义；

（2）能根据已知条件求双曲线的标准方程；

（3）进一步感受曲线方程的概念，了解建立曲线方程的基本方法. 2.过程与方法目标

（1）提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力；

（2）培养学生利用数形结合这一思想方法研究问题；

（3）培养学生的类比推理能力、观察能力、归纳能力、探索发现能力. 3.情感、态度与价值观目标

（1）亲身经历双曲线及其标准方程的获得过程，感受数学美的熏陶；

（2）通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨；

（3）发展学生用类比的方法探究事物运动规律，进一步认清事物运动的本质.激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神.

四、教学重点、难点与疑点分析

1.重点：双曲线的定义及其标准方程. 解决方法：通过学生动手实验、几何画板演示再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识. 2.难点：双曲线定义的得出和标准方程的推导. 解决方法：通过动手实验、几何画板、探究讨论、类比归纳、达标检测. 3.疑点：双曲线定义中“距离的差的绝对值为常数”的“绝对值”的理解. 解决方法：分析各种情况，说明定义中的常数要大于0 而小于F1F2，否则就是两条射线或没有轨迹，若没有“绝对值”就表示双曲线的一支.

五、教法学法分析

1.教法：

（1）在教学目标的指导下，采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中

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心，以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程经历”提出问题———分析问题———建构数学———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中，教师利用问题引路，学生独立思考和分组讨论，从而自己解决问题. （2）通过课件和动画展示数学知识的发生、发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”. 2.学法：在教师的组织，点拨，引导作用下，通过学生积极思考，大胆想象，总结规律，自己不能解决的问题通过小组讨论解决，充分发挥他们的主体作用，让学生置身于提出问题、思考问题、解决问题的动态过程中.

六、教学过程

6.1问题情境，寻求引领方法

问题1 已知A是圆F1上一动点,圆内任取不同于圆心的一点F2，连接AF2的垂直平分线交于点1与AFM，随着A点在圆F1上运动，点M轨迹是什么? [设计思路]组织学生讨论：通过垂直平分线的性质及椭圆定义得出轨迹是椭圆；并演示几何画板模拟过程、验证结果.

显示距离度量值动画点A建系A6.2类比研究，感受双曲线形成

问题2 将F2点移到圆外，连接AF1并延长与AF2的垂直平分线交于点M，问点M轨迹是什么？

[设计思路]演示几何画板模拟过程，组织学生讨论，点M具有什么样的性质？ 【设计意图】在F2点从圆内移到圆外过程中，培养学生观察、类比、归纳问题的能力.由以上实验及讨论，引导学生概括双曲线的定义.

圆MF1F26.3剖析特征，提炼双曲线定义

[设计思路]学生合作类比椭圆给出双曲线定义，研究为什么是绝对值，及常数的范围 . M显示距离度量值动画点A建系M显示距离度量值动画点A建系M显示距离度量值动画点A建系AF1F2F1F2F1F2圆A圆圆A

6.3.1双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的集合叫双曲线

即MF1MF22a (小于F1F2) 注意：双曲线定义中平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数，范围是：(0，F1F2). 6.3.2双曲线的定义深化探究：（通过后面的例1整理归纳总结）

（1）平面内与两定点的距离的差等于常数2a(a0)（小于F1F2）的点的轨迹是什么？

（2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a(a0)（等于F1F2）的点的轨迹是什么？

（3）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a(a0)（大于F1F2）的点的轨迹是什么？

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（4）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a(a0)的点的是轨迹什么？

通过几何画板演示实验及讨论，引导学生归总结：

平面内动点M与两定点F1,F2的距离F1F22c的差的绝对值等于常数2a, （1）当02a2c时，轨迹是双曲线；（其中当MF1MF22a时，M点轨迹是双曲线中靠近F2的一支；

当MF2MF12a时，M点轨迹是双曲线中靠近F1的一支）；

（2）当2a2c时，轨迹是两条射线,是以F1和F2为端点向外的两条射线; （3）当2a2c时，轨迹不存在；

（4）当a0，轨迹是线段F1F2的垂直平分线 . 【设计意图】在变化的过程中发现双曲线定义中要点，准确理解椭圆的定义.建立起用联系与发展的观点看问题；为下一节深入研究方程系数的几何意义埋下伏笔.

6.4类比椭圆，推导标准方程

[设计思路]通过方程研究曲线，推导方程分为：建系、设点、列式、化简.从推到过程、标准方程的形式处处与椭圆类比. 6.4.1双曲线的标准方程推导方法

回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程．推导标准方程的过程就是求曲线方程的过程，可根据求动点轨迹方程的步骤，求出双曲线的标准方程

过程如下：①建系②设点③列式④化简。

6.4.2双曲线的标准方程推导过程

（1）建系：取过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系

（2）设点：设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c（c0），F1(c,0)，F2(c,0)，

（3）列式：设M与F1(c,0),F2(c,0)距离之差的绝对值等于2a（常数）(02a2c)MF1MF22a

y（4）化简：代入点的坐标化简得(xc)2y2(xc)2y22a

(xc)2y2(xc)2y22a

(xc)2y2(xc)2y24a(xc)2y24a2

F1MOF2xcxa2a(xc)2y2

圆(cxa2)2a2[(xc)2y2]

(c2a2)x2a2y2a2(c2a2)，

Ax2y202a2c，两边同除a(ca)得：221

a(ca2)222x2y2，得221．

令cab（b0）ab此即为双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在222x轴上，焦点是F1(c,0),F2(c,0)，其中c2a2b2. 化简处为难点（1）学生处理绝对值时可采用平方和直接去，在学生化简过程中及时指出平方不好；

（2）两个无理根式的通常处理方法，移项平方再平方，若有困难，类比椭圆推导过程；

（3）比较学生化简的结果形式，寻求最简洁的形式，得到焦点在轴上的双曲线的标准方程. 这一方程就是双曲线的标准方程，这就是我们今天要研究的双曲线及（板书课题）并引导学生思考双曲线的标准方程是不是只有这个. 6.4.3分组讨论

x2y2组1：（小组代表发言）可以将a，b互换，得到221. ba理由：椭圆也是这样；

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y2x2组2：将x，y互换，得到221.理由；类比椭圆；

ab师：产生了两种结果，哪个对？

组3：重新建系，焦点在y轴上，则焦点是F1(0,c),F2(0,c)，

那么代入方程得到y(yc)2x2(yc)2x22a，化简得到：F2y2x21

a2b2师：为什么是x，y互换，而不是a，b互换？

22讨论：组2建系下实质是将焦点在x轴上，(xc)yOOx(xc)2y22a中2F1M（x,y)的y用x换，x用y代，所以方程中x，y互换，即可得到师：上面是从代数的角度分析，下面从几何角度分析：

0yx1.

22ab2实质上，将焦点在y轴上的双曲线，逆时针转动90图像就变成焦点在x轴上，其中任意点M(x,y)变成M(-y,x)，（几何画板）

yyxx2y2将(y,x)代入焦点在x轴上的双曲线方程221，就得到221，此也abab称为双曲线的标准方程.因此我们得到双曲线的标准方程的两种形式：形式一：22M‘(-y,x)y2x2x2y21

（a0,b0)

形式二：221（a0,b0)

a2b2ab【设计意图】双曲线的标准方程的推导过程及方程形式处处与椭圆类比，培养学生类比推理的能力，让学生理解曲线和方程的关系的同时也培养了学生计算能力.在得到焦F1OOF2xx2y2点在x轴上的双曲线方程221时，类比椭圆，得到焦点在y轴上的双曲线aby2x2方程221，从数和形的角度说明类比推理的结论也要演绎推理证明，培养学生思维的严谨性. ab

6.5通过方程研究双曲线

[设计思路]组织学生讨论(1)双曲线标准方程中的基本量，以及大小关系；(2)通过方程观察焦点坐标。得到双曲线的标准方程的特征。

6.5.1基本量

在研究双曲线定义时出现的是a,c，到现在就出现三个量a,b,c，它们有关系c2a2b2，独立的量只有两个，我们把a,b或a,c或b,c作为双曲线的基本量，即两个独立的条件或两个关于基本量独立的方程可以确定双曲线. 6.5.2焦点的位置判断 （1）椭圆的焦点位置由方程中含字母x、y项的分母的大小来确定，分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴 22（2）双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置，即x项的系数是正的，那么焦点在x轴上；y项的系数是正的，那么焦点在y轴上

226.5.3双曲线的标准方程的特征：

22（1）方程左边是含x，y的二次式，右边是1；

22（2）x，y项的系数异号；

（3）方程中有两个量a,b，有c2a2b2，三个量a,b,c中c最大；

2（4）x项的系数为正，焦点在x项轴上，否则焦点在y项轴上.

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6.5.4列表总结

曲线

定义

方程

椭圆

双曲线

MF1MF22a

焦点在x轴上椭圆标准方程：MF1MF22a

焦点在x轴上双曲线的标准方程为：x2y2x2y22（1ab0)

21(a0,b0)；

22abab焦点在y轴上时椭圆标准方程为：

焦点在y轴上时双曲线的标准方程为：y2x21(ab0)

a2b2焦点在x轴上时，F(c,0)；

焦点在y轴上时，F(0,c)；

焦点及位

置判断

a、b、c的关系

y2x221(a0,b0) 2ab焦点在x轴上时，F(c,0)；

焦点在y轴上时，F(0,c)；

焦点位置看项的系数的正负

焦点位置看分母的大小

a2c2b2（ab0)

c2a2b2(a0,b0))

【设计意图】通过观察方程的特征和与椭圆方程的比较，进一步掌握双曲线方程，养成学生扎实严谨的科学态度.

6.6应用解题，巩固知识要点

例1．

已知两定点F1(5,0)，F2(5,0)，动点M到F1，F2的距离之差的绝对值等于6，求动点M的轨迹方程

思考:

(几何画板演示) (1)将条件改为点M到F1，F2的距离的差等于6,动点M的轨迹方程是什么？

(2)将条件改为点M到F1，F2的距离差的绝对值等于10, 动点M的轨迹方程是什么？

(3)点M到F1，F2的距离差的绝对值等于11呢？

(4)点M到F1，F2的距离差等于0,动点M的轨迹方程是什么？

总结：

平面内动点与两定点F1,F2的距离F1F22c的差的绝对值等于常数2a

(1)当02a2c时，轨迹是双曲线；

(2)当2a2c时，轨迹是以F1,F2为端点的两条射线；

(3)当2a2c时，轨迹不存在；

(4)当a0，动点P的轨迹F1F2的垂直平分线. 【设计意图】通过变式进一步巩固双曲线的定义及02a2cF1F2的条件. 例2．求焦点在y轴上且过P1(3,42),P2(,5)两点的双曲线的标准方程. 思考：若去掉“焦点在y轴上”的条件即焦点位置不确定，如何求双曲线的标准方程？

方法1:分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情形讨论. 方法2:设方程统一形式mxny1mn0. 【设计意图】通过例题2让学生明确两个独立的条件或两个关于基本量独立的方程可以确定双曲线. 229411,则a2b222方程组为二元一次方程组，比较简单！例题2的思考，让学生体会椭圆双曲线都可以用mxny1来表示，当mn0时为双曲线，当m0,n0，mn，从而让学生从方程的角度理解椭圆双曲线的区别和同时待定系数解方程时的方法比较：若解a,b则方程组是由两个分式方程构成，较复杂；若解22联系.

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6.7巩固练习，深化所学知识

x2y21表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是

．

1.已知方程m2m3变式：（1）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是

．

（2）若方程表示双曲线，则m的取值范围是

．

（3）若方程表示椭圆，则m的取值范围是

．

【设计意图】从方程角度理解曲线.

22222．

方程（y3)x(y3)x4化简后的结果是

．

【设计意图】如果从代数角度实质为无理根式的化简，从几何角度观察出曲线是双曲线的一支，实质为考察双曲线定义的理解；同时学生化简两边平方，方程不等价变形，变成整支的双曲线.让学生从数和形的角度认识问题的同时，培养了学生的推理能力.

6.8对比总结，整合新学知识

6.8.1本节课你学会了哪些知识？

（1）双曲线的定义及其标准方程；

（2）标准方程中a,b,c的关系；

（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系. 6.8.2本节课运用了哪些数学思想？

主要思想方法有数形结合、类比思想及分类讨论. 【设计意图】让学生回顾本节所学知识与方法，以逐步提高学生自我获取知识的能力.

思考题：已知定点F1(5,0),F2(5,0)，动圆P过F2且与以F1为圆心半径为6的圆外切，求点P的轨迹方程.

思考1：外切改为相切？(几何画板演示) 思考2：若半径为6改为12，(只能内切)如何求P点的轨迹方程？

6.9教学评价

书P39习题

七、板书设计

双曲线及其标准方程

一．双曲线的定义  椭圆的定义 例题解析

例1 二．双曲线的标准方程

 椭圆的标准方程 例2 推导过程 1、焦点在x轴上

2、焦点在y轴上

方程的特点：

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【教学后记】

教学思想分析：

课堂是向未知方向挺进的旅程，数学课堂教学本质上是教与学交往、互动的过程，是师生双方相互交流、相互启发、相互沟通、相互补充，分享彼此的思想、知识、经验的过程，是教师根据学生的学情不断调整，以促进其更加有效学习的动态发展的过程；是师生不可重复的激情与智慧的综合生成过程．探索的课堂就是在教师智慧的引领下，架起师生、生生、生本互动的交流平台，成为激活学生思维，愉悦学生身心，张扬学生个性，激发学生创新的契机．同时在问题解决后，要引导学生多角度、多层次、全方位地进行反思，不断提升学生的数学思维能力和元认知水平．

1.1问题的情境设置，引领学生会”动”

本节课，借助问题的推动进行教学，先后设置了两个主要问题引领学生的探究和思考，问题1让学生探究出椭圆，并回忆出椭圆的定义，将圆内的点移至圆外，变成问题2，让学生观察双曲线的图像后，探究动点满足的性质，借助于形上的直观来探求点具有的代数性质，通过设置问题的类比性，让学生类比椭圆的定义给出双曲线的定义；同时双曲线标准方程的推导方法及方程的形式也类比椭圆.让学生深刻体会类比推理在探索知识过程中的作用.课堂上学生的动，不应该是盲目的、随便的，应该是在教师的引领下有目的、有序的.在高中数学教学中，教师引领的生动最基本而又最有效的策略应该是设置问题.有了问题，学生就有了思考和讨论的载体，有了探究额方向、目标，自然就会动了.问题的设置要符合学生的认知特点，让学生跳一跳、摘得到，本节课设置的问题情境入口浅，通过问题简单的变形，让学生进一步思考，不仅完成了本节课的教学任务，也让学生掌握了数学探究的方法和手段，同时培养了学生的数学思想和良好的数学思维习惯.

1.2问题的类比研究，让学生不怕”动”

本节课贯穿始终的类比推理的思想，让学生不怕动.在利用问题1的探究基础上，复习旧址，不是简单的提问，上节课学习了哪些内容，而让学生在主动探究过程中应用所学过的知识，不仅是复习也是一次巩固应用，同时也为学习双曲线作铺垫.在数学建构中让学生全程参与，营造宽松的教学氛围，放手让学生去猜想、验证、创新，让学生有较多机会展示自己，让知识在动态中生成.新课程要求教师能够树立以学生为本的意识，在备课中不仅要设计如何教，而要设计如何学，要为课堂的生动搭建较充分的平台.要让学生不怕动，教师每一步的设置都要考虑学生的认知基础，每一步的推进都要在学生的最近发展区内进行.同时，在具体操作层面上，也让给更多的同学展示的机会，学生的每一个思维的结果，要能让他体会“你是怎样想到的？”充分暴露学生思维过程，培养学生好的思维品质和解题习惯.

1.3微观的问题的处理，激励学生愿“动”

在推导焦点在x轴上双曲线标准方程后，类比椭圆建立焦点在y轴时，学生分组讨论，跃跃欲试：x2y2y2x2将a，b互换，得到221；将x，y互换，得到221.教师及时指出为什么是x，y互换，而abba22不是a，b互换？通过学生重新建系，代入方程得到(yc)x(yc)2x22a，化简得到：y2x221让学生在类比推理是具有创造性的但结论需要演绎推理的证明.教师

从代数、几何角度分别2ab分析方程的由来，让学生深刻体会知识的建构，也培养了学生科学严谨的态度. 数学课堂教学本质上是一个个鲜活生命在特定情境中的交流与对话，是师生不可重复的激情与智慧的综合生成过程．教师的计划再周密，也无法预知课堂教学中的全部细节，因此探索的课堂，才是数学教学的生命力．

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1.4课前的充分准备，不怕学生乱”动”

学生在观察生成双曲线，类比椭圆给出定义时，可能漏掉绝对值，在教学中，教师在几何画板中隐藏度量好曲线的数值MF1MF2

，让学生观察数值的变化，总结出绝对值的由来.在推导双曲线方程时，也事先建好坐标系隐藏（以F1，F2所在直线为x轴，F1F2的垂直平分线为y轴），让学生在类比椭圆的标准方程推导中建系，而不是显示已经建好的坐标系干扰学生的思维.在课堂上.在例2中学生利用解a2,b2方程时，换元令：ma2,nb2，实质仍然是二元二次方程，求解较困难，从方法和方程形式的角度来看本质是二元一次方程和二元二次方程两种.及时指出学生在求解方程时的困难原因，培养学生良好的解题习惯. 教师不愿让学生动的原因是，怕学生乱动，在实际教学过程中，学生的思维往往会超出教师所设，不按教师设想的套路来，导致课堂时间白白浪费掉，导致教学任务不能顺利完成，更有甚者，还有可能出现教师不能迅速应对而挂黑板的现象. 本节课，在教师的一个个看似简单不经意的问题引领下，有30位同学积极表达自己的想法，教师退居幕后让学生亲生经历知识的产生过程，在学生一个个的“主动”探索下，解决了问题，又产生新的问题，课堂如此活了起来.教师看似示弱，却洞察全场，让学生暴露数学思维同时、也让学生增强了信心，教师的不强势，却掌控全场，激发学生学习的热情，让学生有自主发展的空间. 苏霍姆林斯基说过：“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节，而是在于根据当时的具体情况，巧妙的在学生不知不觉中做出相应的变动．”探索的课堂教学，创造出绚丽多彩的课堂景观，因此教师要关注课堂生成，因势利导．数学课堂的生成是复杂的、动态多变的，这就要求教师具有敏锐的课程资源意识、足够的创造性教学智慧，做到心中有案，行中无案，寓有形的预设于无形的、动态的教学中，以敏锐的洞察力和判断力去捕捉、甄别、重组学生涌现的各类信息，把有价值的信息、问题纳入教学过程，使之成为课堂教学的亮点，成为点燃学生智慧的火种，让课堂“精彩”在动态探索中绽放．

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教学实录：

一、

双曲线定义

问题1 已知A是圆F1上一动点,圆内任取不同于圆心的一点F2，连接AF1与AF2的垂直平分线交于点M，

师:随着A点在圆F1上运动，点M轨迹是什么？

生1：椭圆. (师：几何画板模拟过程、验证结果.) 师：为什么是椭圆？

生1：根据椭圆的定义及垂直平分线性质. MF1MF2R2a（2aF1F2）

而椭圆的定义是：平面内到两定点F1,F2的距离的和为常数（大于F1F2）的动点的集合.

问题2 将F2点移到圆外，连接AF

1并延长与AF2的垂直平分线交于点M，师:点M轨迹是什么？(师：几何画板模拟过程) 生：观察得到：双曲线. 问：点M满足什么性质？

生2：MF2MF1AF1R

师：你能给双曲线下定义吗？

生2：到两定点F1,F2的距离的差为常数点的集合叫双曲线

显示距离度量值动画点A建系AMF1F2圆生3：我有不同意见.应该是到两定点F1,F2的距离差的绝对值为常数. 师：为什么是绝对值？

生3：当M在左支时MF2MF1AF1R，

当M在右支时MF1MF2AF1R. 所以当MF1MF2R时为双曲线.

M显示距离度量值动画点A建系M显示距离度量值动画点A建系M显示距离度量值动画点A建系AF1F2F1F2F1F2圆A圆圆A师：那么双曲线的定义是什么？

生3：类比椭圆的定义给出双曲线的定义. 双曲线的定义：平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为常数（小于F1F2）的动点的集合叫双曲线

即MF1MF22a，其中F1,F2为焦点. 师：椭圆定义MF1MF2R2a（2aF1F2）常数2a是有范围的，双曲线这里常数的范围是什么？

生3：2aF1F2. 注意：定义中平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数，范围是：(0，F1F2). 二、

推导标准方程

师:下面我们要研究双曲线，前面我们通过什么研究曲线? 生：通过方程

（齐回答） 师：这就是我们这节课研究的《双曲线及其标准方程》（板书课题）

师:推导方程分哪几个步骤呢? （停顿一下）

生4：建系、设点、列式、化简

师：推导双曲线的方程如何建系呢？

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（1）建系：以过焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴

（2）设点：设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c（c0），F1(c,0)，F2(c,0).

（3）列式：设M与F1(c,0),F2(c,0)距离之差的绝对值等于2a（a0)，（常数），2a2c，

师：（大家在下面推导方程....好，停一下，我们研究一下怎样化简）

生5：将坐标直接代入MF1MF22a，得到方. 师：这里涉及绝对值处理，两边平方好不好？

生：不好. 师：为什么不好？（分析一下）

生6：平方后边高次方程了. 师：那怎样比较好？

生6：移一项过来. 师：怎么想到的？

生6：前面推导椭圆方程时，就是这样的. 师：展示椭圆标准方程中的另个根式的处理. 师：好，下面大家再化一化... 生7：我化到(ca)xaya(ca).

22222222(xc)2y2(xc)2y22a，然后两边平x2y2生8：我将等式(ca)xaya(ca)左右同时除以右边的a(ca)化到221.

2a(ca)22222222222师：比较一下哪个好？

生：后面. 师：你怎么想到的呢？

生8：椭圆也是这样的. 问：方程还能不能再简化呢？

x2y2生9:令cab得到方程：221. ab师：此即为双曲线的标准方程它所表示的双曲线的焦点在222222x轴上，焦点是F1(c,0),F2(c,0)，其中c2a2b2cab；这一方程就是双曲线的标准方程，那么双曲线的标准方程是不是只有这个呢？

（分小组合作讨论双曲线另一标准方程，代表发言）

x2y2生10：我们小组结论：可以互换a，b，得到221. ba师：你怎么想到的？

yx2y2x2y2生10：椭圆也是这样的，椭圆中221互换a，b得到221. abba师：有别的想法吗？

生11：将x，y互换，得到F2yx1. 22ab22OOxF1M（x,y)师：出现两种结果，哪个对？

y2x2生12：我们重新建系，得到焦点在y轴上的方程221. ab师：为什么不是互换a，b？而是互换x，y？

22生12：重新建系代入方程得到(yc)x22就是将(xc)yyM‘(-y,x)(yc)2x22a，

F1OOF2(xc)2y22a中的y用x换，x用y代；

师：类比椭圆互换a，b，互换x，y都是通过合情推理，结论不一定正确，要通过演绎推理来证明.重新建系是从代数的角度分析，下面从几何角度分析：

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x

实质上：将焦点在y轴上的双曲线，逆时针转动90图像就变成焦点在x轴上，其中任意点M(x,y)变成（几何画板）

M(-y,x)，0yxx2y2将(y,x)代入焦点在x轴上的双曲线方程221，就得到221，此也称为双曲线的标准方程.abab因此，我们得到双曲线的标准方程形式：

yxx2y2形式一：焦点在x上：221；形式二：焦点在y上：221

abab我们来看标准方程的特征：

（1）方程左边是含x2，y2的二次式，右边是1；

（2）x2，y2项的系数异号；

师：方程中有几个量？

生：两个（三个）

追问：哪两个？

在研究双曲线定义时出现的是a,c，到现在就出现三个量a,b,c，它们有关系c2a2b2，独立的量只有两个，我们把a,b或a,c或b,c作为双曲线的基本量，即两个独立的条件或两个关于基本量独立的方程可以确定双曲线. 师：双曲线的三个量大小关系如何？

生13：c最大，ca,cb（a,b大小不确定）. 师：椭圆呢？

生13：椭圆a最大，a,b大小确定

师：我们推导了方程，方程也是为了研究曲线，怎样通过方程来研究焦点的位置呢？

2222y2x21

例如：916（0，-5），（0,5）生14：焦点在y轴上，分别是.

师：你是怎样由方程观察出焦点的位置？

生14：x项的系数为正，焦点在x项轴上. 师：否则呢？

生14：否则焦点在y项轴上.

师：椭圆呢？

生14：大小，分母的大小. 接着得到双曲线标准方程的特征：

（3）方程中有两个量a,b，有c2a2b2，三个量a,b,c中c最大; （4）x项的系数为正，焦点在x项轴上，否则焦点在y项轴上.

三、例题分析

例1．已知两定点F1(5,0)，F2(5,0)，点M到F1，F2的距离之差的绝对值等于6，求点M的轨迹方程

22生15：解：由双曲线的定义可知，点M的轨迹是一条双曲线. x2y2因为焦点在x轴上，所以设它的标准方程为221(a0,b0)

ab∵2a6,2c10

∴a3,c5 ∴b5316

222x2y21

所求双曲线标准方程为916师：先定曲线的类型，然后确定基本量，即先定性再定量. 例1思考：

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(1)将条件改为点M到F1，F2的距离的差等于6,点M的轨迹方程是什么?

生16：双曲线的一支，

师：哪一支

x2y2生16：右支，方程是（1x0)

916(2)将条件改为点M到F1，F2的距离差的绝对值等于10, 点M的轨迹方程是什么? 师：黑板上画草图分析，象限内行吗？（不行）

x轴上面呢？

生17：可以. 师：x轴上所有点都可以吗？

生17：以F1，F2为端点的射线，方程为：y0(x5或x5)

(3)点M到F1，F2的距离差的绝对值等于11呢？

生：轨迹不存在

(4)点M到F1，F2的距离差等于0,点M的轨迹方程是什么? 生：F1F2的垂直平分线

几何画板演示总结：平面内动点与两定点F1,F2的距离F1F22c的差的绝对值等于常数2a;

(1)当02a2c时，轨迹是双曲线；

(2)当2a2c时，轨迹是两条射线；

(3)当2a2c时，轨迹不存在；

(4)当a0，轨迹是F1F2的垂直平分线. 例2．求焦点在y轴上且过P1(3,42),P2(,5)两点的双曲线的标准方程. 943291y2x2a2b2分析：待定系数，可设双曲线的方程为：221得：

2581ab122a16b师：下面如何解这个方程？

329mm122生18：通分，可以换元令ma,nb则方程变为；

25811m16n22师：这样处理好不好？是若解a,b则方程组是由两个分式方程构成，较复杂，换元后认为二元二次方程. 11y2x21. 生19：整体解2,2，所以双曲线的方程为：ab16911师：哪种方法好？若解2,2则方程组为二元一次方程组，比较简单！

ab思考：若去掉焦点在y轴上，如何求双曲线的标准方程？

分析：分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情形讨论. y2x21；

当焦点在y轴上时：169生20：焦点在x轴上时：方程没有解；

生21：我有个问题，为什么只有焦点在y轴上而没有x轴上的情况，我画草图感觉也是有两解？

师：有谁能帮他解决这个问题吗？

生21：我们可以设方程为mxny1.然后代点. 师：这个方程mxny1还可能表示其他曲线吗？

生21：哦，可能表示椭圆、圆. 师：那怎么办？

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2222

生21：应该是mx2ny2（1mn0). 师：对，变量加条件. 1m32m9n19生21：代入点

81125mn1n1616师：

这个方程有几节解？

生21：这是关于m,n的二元一次方程组，最多只有一解，所以只有焦点在y轴上的一种情形. 评：实质上椭圆双曲线都可以用mx2ny21来表示，当mn0时为双曲线，当m0,n0，mn时为椭圆.

四、巩固练习

x2y21表示焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围是

．

1.已知方程m2m3m20m2

生23：m30变式：（1）若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则m的取值范围是

．

生24：m20m3

m30（2）若方程表示双曲线，则m的取值范围是

．

生25：(m2)(m3)m2或m3

（3）若方程表示椭圆，则m的取值范围是

．

生26：m20m

m3022222．

方程（y3)x(y3)x4化简后的结果是

．

生27：移项，平方. 师：方程还等价吗？

生：不等价

师：为什么不等价？

生28：不需要平方，方程表示的是到两个定点的距离之差为定长应该是双曲线的一支. 师：哪一支？

y2x2（1y0)

生：上支，方程为45师：现在再来看方程若移项后平方为什么不等价，事实上平方后就是两支双曲线了. 五、课堂小结: 1.本节课你学会了哪些知识？

生29：（1）双曲线的定义及其标准方程；

（2）标准方程中a,b,c的关系；

（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系. 2.本节课你有哪些体会和感悟？

生30：我们认识双曲线图像，然后从代数的方法探究双曲线的方程，其中蕴含了数形结合的思想，同时和我们学过的椭圆类比，体现类比思想！

师：两位同学分别从知识层面和数学思想的层面给大家把本节课的内容作了梳理，正如数学家华罗庚所说“数缺形时少直观，形缺数时难入微”体现了数形结合的好处，本节课，我们处处与椭圆类比，从定义到方程；事实上，双曲线不是数学家人为的规定，各种美妙的曲线都与方程息息相关，而解析几何正是用代数的方法研究几何的问题，通过我们继续的学习和研究，会有更深刻的体会和感悟，本节课到此结束，谢谢大家！

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