2.3.1 双曲线的标准方程教案1

课题：双曲线的标准方程(第1课时) 西安交通大学苏州附属中学 秦卫东

教学目标：

1、能理解并掌握双曲线的定义，建立双曲线的标准方程; 2、探索平面内到两个定点的距离之积（商）为定值的点的轨迹. 3、运用类比法推导双曲线的标准方程、掌握双曲线及其方程，增强学

生分析问题，解决问题的能力；

2、围绕培养学生的核心素养，通过教师引导，让学生学生自己用类比的方法自己提出研究问题，培养学生提出问题意识、探究学习的能力。对一些不能或难以求出轨迹方程的动点轨迹问题，鼓励学生利用计算机软件（如《几何画板》）进行辅助，作出动点的轨迹，培养学生的解决问题的能力。 教学重点 1、双曲线标准方程的建立，对双曲线标准方程的理解；

2、探索平面内到两个定点的距离之积（商）为定值的点的轨迹。

教学难点

探索平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹，以及作图

教学过程：

一、

设置情景（引入课题）：

上一节内容我们一起研究了椭圆的几何性质，这些几何性质是通过研究椭圆的标准方程而获得的，从中我们体验到了用代数的方法研究曲线的优越性。椭圆的研究任务我们已经完成，接下去我们该研究第二条圆锥曲线(停顿片刻，由学生说出)——双曲线，那么我们该怎

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么研究呢？ 二、

学生活动

问题1 师: 先请同学们一起回忆我们是怎么研究椭圆的? 生:（椭圆的定义→用坐标法建立椭圆的标准方程→通过研究方程得出椭圆的几何性质）

师: 强调：椭圆的定义是研究的起点。

因此，研究双曲线可以类比研究椭圆的方法。双曲线的定义是研究的起点，双曲线的定义我们已经学过，那么本节课我们该做什么工作呢？

生：建立双曲线标准方程，研究双曲线的性质。

师：给出课题：双曲线的标准方程（一）

问题2

师：双曲线是如何定义的呢? 生：平面内到两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数 )的点的轨迹叫做双曲线. ①

两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ②

F1、F2的距离——焦距. 数学表达式： |PF1-PF2|=常数(小于F1F2的正数 ) 问题3 师：那么如何求双曲线的方程呢? ——类比椭圆

请同学们回忆求椭圆的标准方程的步骤. 生：按下列步骤进行：建系、设点、限制条件（列式）、代入坐标、化简（方程）从而得出了标准方程.

三、建构数学（师生互动）

F1oF2yMMF1F2x师：定义中的两个常数怎么设定呢？类比椭圆。

2

设双曲线的焦距为2c,双曲线上任意一点到焦点到F1,F2的距离差的绝对值等于常数2a (c>a>0) 1.建系：以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中垂线为y轴建立直角坐标系（语言要规范）

说明：也可以以F1,F2所在的直线为Y轴，线段F1F2的中垂线为X轴建立直角坐标系，我们先研究焦点在X轴上的情况。

2.设点:设P（x , y）是双曲线上的任意一点,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式:MF1MF22a

22224.代换.（xc)y（xc)y2a

学生板书 移项平方(xc)y222a2(xc)y22 2移项cxa2a(xc)2y2 平方(c2a2)x2a2y2a2(c2a2) 令b2= c2- a2

x2y2得221(a0,b0) 对称的方程---对称的图形！

abx2y2双曲线标准方程 焦点在x轴上221(a>0,b>0) ab估计学生在化简的过程中可能会出现的做法：

（1）

去绝对值时采用直接平方法。

（2）

根据正、负分类化简。

向学生说明代数式中正、负号的几何意义（分别表示左右两支）。

想一想:焦点在y轴上的双曲线标准方程是什么？类比椭圆，

3

y2x22221(a>0,b>0) 其中：c=a+b

22abyF2Mxo问题4

师：

①这两个方程形式一样吗？为什么？

F1（不一样，正是由于焦点的位置不同才引起方程形式的不同）

②如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？

(二次项系数为正,焦点在相应的轴上)

记忆：即焦点跟着正项走

四、小结回顾：

定义：平面内到两定点F1，F2距离之差的绝对值等于常数2a(小于F1F2=2c)的点的轨迹叫双曲线。两定点F1，F2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。

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标准

方程

图

不

同

点

形

焦点

坐标

x2y21a0,b0

a2b2y2x21a0,b0

a2b2

yMyF2Mx

F1oF2xoF1F1c0、F2c,0

F10,c、F20,c

平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对定

义

值等于常数（小于F1F2 的正数）的点的轨迹

相

a、b、c同

的关系

点

焦点位置二次项系数为正，焦点就在哪个轴上

的判断

五、研究性学习

师：前面我们研究了平面上到两定点F1，F2的距离之和（差）等于常数的动点轨迹，与之类比我们还可以研究怎样的问题? 生：平面上到两定点F1，F2的距离之积等于常数的动点轨迹。

平面上到两定点F1，F2的距离之商等于常数的动点轨迹

c2b2a2

探求

（1）

平面内到两个定点的距离之积为定值的点的轨迹？

学生推导：设两定点F1(-c,0)，F2(c,0)，动点P（x,y），

则

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(xc)2y2(xc)2y22a, 化简得：x2y2c22c2x2a2y2x2c22c2x2a2

y(x2c2)2c2x2a2

师：如何绘制函数的图像？

生：用《几何画板》绘制函数的功能应该可以得到函数的图象，两个函数拼成曲线就是方程的曲线。

学生合作用几何画板作图

整体变化过程如下图

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这些曲线叫做卡西尼卵形线

进一步提出探究问题（供学生课后探索研究）

1、当a,c满足什么条件时，图像分为两支，随着a着减小都向分别向两个定点F1，F2收缩；

2、当a,c满足什么条件时，分成8形后相交叉；

3、当a,c满足什么条件时，图形是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部向内凹进；

4、当a,c满足什么条件时，图形是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部变平；

5、当a,c满足什么条件时，图形是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部凸起；

探索（2）平面内到个定点的距离之比为定值的点的轨迹？

设两定点F1(-c,0)，F2(c,0)，动点P（x,y），

则(xc)2y2(xc)y222a，

化简得(4a21)x2(4a21)y28a2cx2cx4a2c2c20

121当a,a0，表示圆。

2当a，表示y轴，即线段F1F2的中垂线；

师：平面上到两个定点距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是圆，叫做“阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆”，这两个定点叫做阿氏圆的基点

六、研究性作业： 1、研究满足下列条件的点的轨迹

平面上到两定点F1，F2的距离的平方和等于常数的动点轨迹。

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平面上到两定点F1，F2的距离的平方差等于常数的动点轨迹。

平面上到两定点F1，F2的距离的平方积等于常数的动点轨迹。

平面上到两定点F1，F2的距离的平方商等于常数的动点轨迹。

2、研究卡西尼卵形线方程中

（1）、当a,c满足什么条件时，图像分为两支，随着a着减小都向分别向两个定点F1，F2收缩；

（2）、当a,c满足什么条件时，分成（3）、当a,c满足什么条件时，图形是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部向内凹进；

（4）、当a,c满足什么条件时，图形是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部变平；

（5）、当a,c满足什么条件时，图形是一条没有自交点的光滑曲线，曲线中部凸起；

8形后相交叉；

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