6.4 反三角函数优秀教案板书设计

反正弦、余弦函数

【教学目标】理解反正弦、反余弦函数的意义，并会用反三角符号表示角；掌握用反三角表示[0，2]中的角。

【教学重点】用反三角表示[0，2]中的角。

【教学难点】在特定区间用反三角符号表示角。

【教学过程】

一、探索研究：已知三角函数值求角

例1．（1）已知sinx2

，且x[,]

，求x。

224232

，且x[0,2]

，求x的取值集合。 ，

4422

，且x[0,2]

，求x的取值集合。 ？

4

（2）已知sinx

（3）已知sinx二、复习：

1．反函数的存在性：单调函数存在反函数；

2．正弦函数的单调性：[2k2，2k2]单调增；[2k2，2k3]单调减。

2

三、反正弦函数的概念：

1．定义：根据正弦函数的图像的性质，为了使符合条件sinxy（ 1 

y

 1）

的角x 有且只有一个，我们选择闭区间[,]

作为基本范围，在这个闭区间上，符22合条件sinxy（ 1 

y

 1）的角x，叫做实数y的反正弦，记作arcsiny

，即xarcsiny，其中x[,]

，且sinxy。

222．arcsinx

表示的意义：arcsinx

表示一个角，角的特点是： ①角的正弦值为x，因此角的大小受x的限制， 1 

x

 1；

②并不是所有满足sinax

的角都可以，只能是a[的角，arcsinx[,]

范围内满足sinax

22,]。

22

例如，322

，

。那么例1中第（3）小题答案可以写成：arcsin424222arcsin,arcsin

44arcsin练习：（1）arcsin11，arcsin()

是什么意思？

22（2）若sinx3，x[,]，则x 。

222,]

，则x 。

22

（3）若sinx0.7

，x[参考答案：（1），

；（2）；（3）arcsin(0.7)arcsin0.7。

636四、反余弦函数概念：

1．定义：根据余弦函数的图像的性质，为了使符合条件cosxy（ 1 

y

 1）

的角x 有且只有一个，我们选择闭区间[0,]

作为基本范围，在这个闭区间上，符合条件cosxy（ 1 

y

 1）的角x，叫做实数y的反余弦，记作arccosy

，即xarccosy，其中x[0,]

，且cosxy。

2．arccosx

表示的意义：arccosx

表示一个角，角的特点是： ①角的余弦值为x，因此角的大小受x的限制， 1 

x

 1；

②并不是所有满足cosax

的角都可以，只能是a[0,]

范围内满足cosax

的角，arccosx[0,]。

例2．若cosx11

，x[0,]，则xarccos；

44111

，x[0,]，则xarccos()arccos。

444

若cosx

练习：（1）已知x[0,2]，

，求；

（2）已知x[0,2]

，cosx0.4

， 求；

（3）已知x[0,2]

，cosx2

，求。

300

答案：（1）61，299；（2）arccos0.7，2arccos0.7

（3）arccos(222。

)arccos

，arccos333

，且x[例3．（1）已知,]

，求（用弧度表示）；

22

（2）已知

，且x[0,2]

，求的取值集合。

)

解：（1）xarcsin(0.3322

（2）2arcsin0.3322，

arcsin0.3322

练习：（1）若cosx2

，x[0,]

，则

的值为（

）

3

（A）arccos2222；（B）arccos；（C）arccos；（D）arccos。 3333

（2）若x(1,)

，集合A,

，B0,sinx

且AB

，则x的2251) 。

8163；（3）。

58值为___________。

（3）sin(arccos

答案：（1）B；（2）arcsin五、小结：

（1）反三角函数的概念是中学数学较难理解的概念之一，它之所以难以理解是由于三角函数在其整个定义域内并不存在反函数，只有在某一特定区间才存在反函数因此，反三角函数的值域也就被限制在某一区间内，这个区间常称为反三角函数的主值区间，如[,]，[0,]

分别为反正弦、反余弦主值区间．解题出错，往往是主值区间概念22不清；

（2）由反正弦、反余弦定义，不难得：

sin(arcsinx)x，x[1,1]； arcsin(sinx)x，x[,]。

22cos(arccosx)x，x[1,1]； arccos(cosx)x，x[0,]。

（3）用反三角表示已知函数值

范围

中角 值及位置

x2在y轴正半轴

x1arcsina(0,)；x2arcsina(,) 22

x10或x2

； 3xx或

2 122；

4．已知角的正弦值、余弦值求给定范围内的角的基本步骤：

第一步：确定角x的范围；

第二步：如果函数值是正数，则先求出对应的锐角x；如果函数值是负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x；

第三步：根据角x的范围，利用诱导公式得到所求的角x。