4.5 反函数的概念优秀公开课教案

教案和教学设计说明

课题

反函数

执教

华师大二附中

谢欢欣

【教材内容分析】

“反函数”的内容，位于上海市高中数学教材（试用本）高一年级第二学期（华东师大主编，上海教育出版社出版）§4.5反函数．反函数是中学函数知识体系的重要组成部分．掌握了反函数的知识，有利于进一步理解函数概念，并为以后学习与指数函数互为反函数的对数函数及三角函数与反三角函数奠定了基础．同时反函数又是培养学生进行逆向思维能力和创新意识的良好素材．

【学情分析】

境外班的学生来自于不同的国家和地区，他们的理解能力，思维的严谨性、灵活性方面都存在着个体差异，不同学生的归纳总结能力有较大的区别；准确的理解概念及利用概念的实质解决问题的能力有待提高．

针对这些情况，可在概念的教学中，引导学生自主探索、体验概念的形成过程，通过探索揭示新概念的内涵与外延以及与相关知识的联系，达到对概念的深刻理解．在例题的选择与处理上，采用由浅入深，合作交流，大胆总结与反思的方法，使学生明确概念与应用之间密不可分的关系．

【教学目标】

1.

理解反函数的概念；掌握求反函数的步骤；知道函数与其反函数图像之间的关系．

2.

体验概念的形成过程；注重数形结合分析问题，培养逆向思维的能力.

3.

在探讨中学习，激发学习兴趣；经历数学思维过程，体验研究问题的乐趣．

【教学重点、难点】

重点：理解反函数的概念；并且会求简单有理函数（如一次函数、二次函数、幂函数）的反函数．

难点：对反函数概念内涵的理解．

【教学方法】

教师引导、学生主体，师生共同探讨．

【教学工具】

电脑、多媒体课件

1

【教学过程】

一、概念引入：

引例1

甲、乙两人通过观察摄氏温度（C）和华氏温度（F）的变化数据（如下表）后，建立了两种温度度量制之间的对应关系. C

0 32 10 50 20 68 30 86 35 95 F

甲：y1.8x32（图像如右图）. 乙：yx32. 1.8为什么他们得到的函数解析式不同呢？

设计说明：

以生活中的问题引入能让学生感觉到换一个角度看量与量的变化是生活中很常见的现象，让学生初步体会研究这种现象的必要性．

引例2

将下列各式转化为用y表示x，并观察新得到的对应关系是否是函数：

(1)y4x2；(2)yx21．

设计说明：

①初步体会换一个角度研究对应关系的过程，通过对新的对应关系是否为函数的判断引导学生关注新的对应关系仍为函数的特殊情况，确立研究的目标．

②通过正反两方面的例子，有助于学生对比、归纳反函数的概念．

二、概念形成：

反函数的概念：对于函数y=f (x)，设它的定义域为D，值域为A．如果对A中任意一个值y，在D中总有唯一确定的x值与它对应，且满足y=f (x)，这样得到x关于y的函数叫做y=f (x)的反函数．记作x=f -1(y) ．

习惯上，自变量常用x表示，而函数用y表示，所以把它改写为y=f -1(x) ．

设计说明：

通过上述正反两方面的例子，引导学生对比、归纳出反函数的概念．

三、概念理解：

问题1：就函数的三要素而言，函数f (x)与其反函数f -1(x)有着怎样的关系？

2

设计说明：

从函数的三要素出发，通过表格对照，体会函数及其反函数的关系.

问题2：下图是函数f(x)的大致图像，根据定义判断f(x)是否存在反函数.

设计说明：

函数有多种表示形式，通过问题2有助于从图像的角度更进一步理解反函数的概念．初步探究函数存在反函数的条件.

问题3：已知函数f(x)x2，

(1)函数yf(x)存在反函数吗？若存在，求出反函数；若不存在，请说明理由. (2)试添加条件，使yf(x)存在反函数．

设计说明：

从代数的角度进一步体会函数存在反函数的

四、知识应用：

例1：求下列函数的反函数，并在同一坐标系来函数和其反函数的图像. 中作出原条件. (1)yx3;(2)yx1(x0).

解：(1)由yx3得x3y. 将x与y互换，得y3x. ∵函数yx3的值域为R. ∴所求的反函数是y3x(xR). (2) 由yx1，得x(y1)2.

y y O x 3

将x与y互换，得y(x1)2. ∵函数yx1(x0)的值域是[1,).

∴所求的反函数是y(x1)2(x1).

总结：

(1)求反函数的步骤：反解x=f -1(y)；互换y=f -1(x)；求定义域．

(2)函数与其反函数的图像关于直线y=x对称. 设计说明：

①理解反函数的概念，会求函数的反函数.

教师板书例题过程后，由学生总结求反函数步骤，培养学生分析、思考的习惯，以及归纳总结的能力．

②通过观察得到函数及其反函数图像之间的关系．

例2：已知函数f(x)3x1，求f1(0.7). 4x2法1：先求反函数y=f -1(x)的解析式，再求f1(0.7). 法2：令原函数的函数值y=0.7，求出x的值即为f1(0.7). 设计说明：

根据函数和其反函数的关系用多种方法解决问题.

五、小结、作业，回顾全程：

小结：

1.

理解反函数的概念，掌握求反函数的步骤；

2.

体验数形结合思想的应用. 作业：

1.

精炼与博览P10-11 习题4.5；

2.

思考：

(1) y=f -1(x)与y=f (x)的奇偶性是否一致？

(2) y=f -1(x)与y=f (x)的单调性是否一致？

设计说明：

通过小结回顾整节课的学习内容，通过作业巩固所学内容并研究新的问题．

O x 4