5.4 两角和与差的余弦、正弦和正切第一课时导学案

课题：两角和与差的余弦

俞峰英

教学目标：

知识与技能：

使学生掌握两角和与差的余弦公式，并会应用这一公式解决一些有关三角函数的求值问题和化简问题。

过程与方法：

经历两角和与差的余弦公式的推导过程，了解构造图形解决三角比问题的“构造法思想”。

情感态度价值观：在公式的推导过程中，使学生注意并学习严密而准确的数学思维方法及数学表达方式。感悟数学中的探索和创新，体验得到成果的乐趣。

教学重点：使学生掌握两角和与差的余弦公式。

教学难点：两角差的余弦公式的推导与证明。

三、教学过程

1．

创设情境

今天我们要学习两角和与差的余弦。同学们先回答我一个三角的问题：cos15?15和30，45，60

之间有什么关系吗）

（cos15cos(4530)

怎么解这个三角比呢？我们就用4530构造出15来，用初中的知识去解。

C CE3233

,AE,BE1333113

EFBE226A F E

30

B 2313AF2626

cos15cos(4530)3AB42那么如果我们把45和30推广到一般情况呢？cos()?还能用这种方法去解吗？

2．

授新课

⑴ 在单位圆中来寻找角，与角之间的关系。

在直角坐标系的单位圆中作出两角、，始边都与x轴正方向重合（强调指出，为之后如何旋转角做铺垫）射线OA、OB分别为其

终边，与单位圆相交于A、B两点， A(cos,sin)，B(cos,sin).

(cos,sin)AB(cos,sin)角的终边与角的终边所夹的角就是

角。

⑵ 能不能用角的三角比来表示点A，B的坐标呢

提示：为什么刚才角角能那么容易地表示出来，而角会遇到困难呢？（引导学生将∠AOB旋转，使OB边落到x正半轴上。）

只要将角的终边OA、OB都绕O旋转角，分别转到OA和OB的),sin())，B(1,0). 位置，则A(cos(

A(cos(),sin())B(1,0)|AB|(coscos)2(sinsin)222(coscossinsin)|AB|2[cos()1]2sin2()22cos() 由于|AB||AB|可证，

从而cos()coscossinsin

α，β是任意角，点A,B可在任意象限内或坐标轴上，又应用的距离公式也有一般性，所以这个公式适用于α，β为任意角的情况。

⑶ 推导两角和的余弦公式

在两角差的余弦公式中，用代替.可得到两角和的余弦公式：cos()coscossinsin.

怎么来记忆比较好呢？两角和差的余弦公式中，等号右边有没有规律？同名相乘，cos前，sin后，加减号与左边相反。

3．公式的运用

45例1已知sin,(,),cos,是第三象限角,求cos().

5213解：sin

443,(,),cos1sin21()2

5255512cos,是第三象限角，sin=-1-2cos

1313

cos()cos若原题改为：

已知sin()4cossinsin355134(512)1333()655,(,),cos,是第三象限角,求cos

5213

例2. 求下列各式的值。

1）cos80cos20sin80sin20

解：原式=cos(8020)cos60

2）sin40sin20cos40cos20

解：原式= 1

2(cos40cos20sin40sin20)cos(4020)cos60

3）coscos(60)sinsin(60)

解：原式=cos(60)cos60 4）cos21cos24sin159sin204

解：原式=cos21cos24sin(18021)sin(18024)= cos21cos24sin21sin24cos(2124)cos45

121

22、

2

4．推第五，第六组诱导公式

cos()coscossinsinsin

222

将上式中的换成2：cos()sin(),即sin()cos

2222)

由上述两个结果得到：tan(2cot,cot(2) tan（第五组诱导公式）

将第五组诱导公式中的换成后，可得第六组诱导公式：

sin()cos2cos()sin2tan()cot2cot()tan2

这样我们就发现这两个公式所具有的强大功能。

四、课堂小结

（1）本节课使用坐标法，借助单位圆构造全等三角形，推导了两角差的余弦公式.还通过变量替换的方法，得到了两角和的余弦公式.两角差的余弦公式能推出和的余弦公式，它还能推出其它许多三角的公式。

（2）通过两角和与差的余弦公式的运用，包括正用，逆用，与诱导公式一起用。

五、课后作业