3.2.1 几个常用函数的导数教学评价实录

课 题：

3．2几种常见函数的导数

教学目的：

1.掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2.学会利用公式，求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题

教学重点：用定义推导常见函数的导数公式．

教学难点：公式(xn)'nxn1(nQ)的推导．

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、

复习引入： 1.

求函数的导数的方法是:

(1)求函数的增量yf(xx)f(x);

(2)求函数的增量与自变量的增量的比值:

yf(xx)f(x)

;xx

y

(3)求极限，得导函数yf(x)lim.x0x

说明:上面的方法中把x换成x0即为求函数在点x0处的

导数. 2.函数f(x)在点x0处的导数f/(x0)就是导函数f(x)在x=x0

处的函数值,即y/xx0/＝f/(x0).这也是求函数在点x0处的导数的方法之一。 3.函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处的切线的斜率. 4.求切线方程的步骤：

（1）求出函数在点x0处的变化率

f/(x0)

，得到曲线

（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即

yf(x0)f/(x0)(xx0)

二、几种常见函数的导数

根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式. 1) 函数y=f(x)=c的导数. 说明：此公式可以叙述为：常函数的导数为零．其几何解释是：函数yC的图象是平行于x轴的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率都是0.

证明：yf(x)=C，∴Δy=f(x+Δx)－f(x)=C－C=0 ∴yy=0，y=C′=lim=0，∴y=0. x0xx

公式一：C0(C为常数)

2) 函数y=f(x)=x的导数. 解:yf(x)x,yf(xx)f(x)(xx)xx,y1,xf(x)x'limy1.x0x公式二：x'1

3) 函数y=f(x)=x2的导数. 解:yf(x)x2,yf(xx)f(x)(xx)2x22xxx2,y2xxx22xx,xxy2xxx2f(x)(x)'limlimlim(2xx)2x.x0xx0x0x2公式三：（x2）'2x

4) 函数y=f(x)=1/x的导数. 1

解:yf(x),

x11x

yf(xx)f(x)

xxx(xx)x

y1

,x(xx)x

1y11lim2.

f(x)()'limx0xx0(xx)xxx

11'2

公式三：（）xx

1)yf(x)C2)yf(x)x,3)yf(x)x2,14)yf(x),x表示y=x图象上每一点处的切线斜率都为1 表示y=C图象上每一点处的切线斜率都为0 探究：

画出函数y=1/x的图像。根据图像，描述它的变化情况。并求出曲线在点（1,1）处的切线方程。 x+y-2=0

公式

请注意公式中的条件是nQ,但根据我们所掌握的知识,只能就

nN的情况加以证明.这个公式称为幂函数的导数公式.事实上n可以是任意实数. *(x)nxnn1(nQ)三.典例分析 题型：求曲线的切线方程

例1.已知P(-1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，(1)求过点P的曲线y=x2的切线方程。

(2)求过点Q的曲线y=x2的切线方程。

(3)求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。

解(1),(2)：y'2xP(1,1),Q(2,4)都是曲线yx2上的点。过P点的切线的斜率k1y'|x12,过Q点的切线的斜率k2y'|x24,过P点的切线方程:y12(x1),即：2xy10。过Q点的切线方程:y44(x2),即：4xy40。41

解(3)：y'2x直线PQ的斜率k1,21

11

切线的斜率ky'|2x1,x01,切点M(,)xx0224

114x4y10。

与PQ平行的切线方程:yx,即：42

0

例2.已知yx，1)求y;2)求曲线在点（，11）处的切线方程.1112.x解1)：y(x)'(x)'22x122)切线方程:y1111(x1).即：y=x222

11练习1：

求双曲线y＝在点(2，)处的切线方程．

x21解：∵y′＝－2，

x1∴y′|x＝2＝－. 4即：x＋4y－4=0

11∴切线方程为y－＝－(x－2)，

24127练习2：求抛物线y＝x在点(4，)处的切线方程．

44解：设切点(x0,y0),1x0(xx0),2y0y012x0①4又切线ky'1x0,2切线方程：yy07切线过(4,),4127x02x0②2471y0x0(4x0)，42解①②得:x01或x0711491(x1)或y(x4)4242149切点为(1，)或(7,),44切线方程：y即：2x4y10或14x4y490

例3求过点(1，－1)与曲线y＝x3－2x相切的直线方程．

解：设P(x0，y0)为切点，

则切线斜率为k＝f′(x0)＝3x0－2 故切线方程为y－y0＝(3x0－2)(x－x0)①

∵(x0，y0)在曲线上，∴y0＝x0－2x0②

又∵(1，－1)在切线上，

32322∴－1－y0＝(3x0－2)(1－x0)③

2∴将②代入③式得－1－(x0－2x0)＝(3x0－2)(1－x0)．

化简得2x0－3x0+1＝0．

1解得x0＝1或x0＝－. 232分解因式得(x0-1)(2x0+1)＝0．

5则切线斜率为k＝1或k＝-

425故所求的切线方程为：y＋1＝x－1或y＋1＝－(x－1)．

4即x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.

练习：已知抛物线y＝ax＋bx＋c通过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y＝x－3相切，求a、b、c的值．

2解：因为y＝ax＋bx＋c过点(1,1)，

2所以a＋b＋c＝1. y′＝2ax＋b，

曲线过点(2，－1)的切线的斜率为4a＋b＝1. 又曲线过点(2，－1)，

a＋b＋c＝1，由4a＋b＝1，4a＋2b＋c＝－1，所以4a＋2b＋c＝－1.

a＝3，解得b＝－11，c＝9.

所以a、b、c的值分别为3、－11、9.

四、小结

1.会求常用函数的导数.

1yc,yx,yx,y,

x

2

2.能结合其几何意义解决一些与切点、切线斜率有关的较为综合性问题.

五、练习:

求曲线y=x2在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围城的三角形的面积。