3.1.3 导数的几何意义优秀教学设计

1.1.3导数的几何意义

[学习目标] 1．了解导函数的概念，理解导数的几何意义．

的区别与联系．会求导函数．[来源学§科§网]2．弄清函数在x＝x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)

3．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．

[目标解读] 1．重点是导数的几何意义．

2．难点是准确理解并会求曲线上某点处的切线方程．

[情境引入] 我们在初中学习圆的切线时知道，当直线和圆有唯一的公[来源学科网ZXXK]

共点时，直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的概念推广到一般曲线的切线呢？即是否“当直线和曲线有唯一的公共点时，直线叫做曲线过该点的切线”？显然这种推广是不妥当的．如图中的曲线C是我们熟知的正弦曲线y＝sinx.直线l1与曲线C有唯一的公共点M，但我们不能说直线l1与曲线C相切；而直线l2尽管与曲线C不止有一个公共点，我们还是说直线l2是曲线C在点N处的切线，那么如何求出这样的切线呢？

[新知探究] 1．导数的几何意义

(1)切线：如图，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4，…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线．显然割线PPn的斜率是＝

，当点Pn无限趋近于点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率．

kn

(2)几何意义：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的

，也就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率k＝

＝

相应地，切线方程为

问题探究1：曲线的切线与曲线一定只有一个公共点吗？

提示：不一定．曲线的切线与曲线可能有一个公共点，也可能有无数个公共点．如直线y＝1与曲线y＝sinx相切，但它们有无数个公共点．

2．导函数[来源学*科*网Z*X*X*K]

从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个

的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称

)．y＝f(x)的导函数

有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝

. 问题探究2：“函数y＝f(x)在x＝x0处的导数”与“导函数”有何区别？

提示：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)是一个函数值，即一个确定的值；导函数y＝f′(x)是针对某一区间内任意的x0，如果函数y＝f(x)的导数对应，所以，函数的导函数是一个函数关系．

[例题讲解] 14例1

已知曲线C：y＝x3＋. 33(1)求曲线C上的横坐标为2的点处的切线方程；

(2)第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？

【思路启迪】

解答第(1)小线方程解．

【解】

(1)将x＝2代入曲线C的方程，得y＝4，∴切点的坐标为(2,4)．

14142＋Δx3＋－×23－3333Δy1∴y′|x＝2＝lim

＝lim

＝lim[4＋2·Δx＋(Δx)2]＝4. ΔxΔx3Δx→0Δx→0Δx→0都存在，则都有唯一确定的值f′(x0)与x0题，可先求出切点坐标及斜率，然后利用直线方程的点斜式求切；解答第(2)小题，可把(1)中求得的直线方程与已知的曲线方程组成方程组，求方程组的∴k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线C在点(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. y＝4x－4，(2)由134

y＝3x＋3，得(x－2)(x2＋2x－8)＝0，

解得x1＝2，x2＝－4. 从而求得公共点为(2,4)或(－4，－20)．

即切线与曲线C的公共点除了切点外，

还有另外的公共点．[来源学科网ZXXK]

点评：(1)解决这类题，先求出函数y＝f(x)在x0处的导数即曲线在该点处切线的斜率，再由直线方程的点斜式便可求出切线方程．

(2)导数的几何意义中所说的点应在曲线上，否则函数在该点处的导数不是斜率．

例2

已知曲线y＝x2＋6的切线分别符合下列条件，求切点坐标及切线方程．

(1)平行于直线y＝4x－3；

(2)垂直于直线2x－y＋5＝0. 【思路启迪】

根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后利用两直线平行、垂直的条件求出切点坐标，再利用点斜式方程求切线．

【解】

设切点坐标为(x0，y0)，

fx＋Δx－fxx＋Δx2＋6－x2＋6f′(x)＝lim

＝lim

＝lim

(2x＋Δx)＝2x. ΔxΔxΔx→0Δx→0Δx→0∴过(x0，y0)的切线的斜率为2x0. (1)∵切线与直线y＝4x－3平行，

∴2x0＝4，x0＝2，y0＝x20＋6＝10，

∴切点坐标为(2,10)．

∴切线方程为y－10＝4(x－2)，即4x－y＋2＝0. 197197(2)∵切线与直线2x－y＋5＝0垂直，∴2x0·2＝－1，得x0＝－，y0＝，∴切点坐标为(－，)．

4164169711∴切线的方程为y－＝－(x＋)，即8x＋16y－95＝0. 1624例3

如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的(

)

【思路启迪】

应用导数的几何意义，结合图象中单位长度Δx内面积的变化量ΔS作判断．

【解析】

函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS

越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大．

当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小．

当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．

【答案】

D

例4

求过曲线y＝f(x)＝x3上的点(1,1)的切线方程．

【解答】

设切线与曲线的切点为(x0，x30)．

Δyfx0＋Δx－fx0则＝

ΔxΔxΔx3＋3Δx2·x0＋3Δx·x20＝

Δx＝(Δx)2＋3x0Δx＋3x20. ∴lim

Δx→0232故切线方程为y－x30＝3x0(x－x0)．而该切线经过点(1,1)，所以1－x0＝3x0(1－x0)，解得x0＝1或Δy2＝3x20，即f′(x0)＝3x0. Δx1x0＝－. 2131所以切线方程为y－1＝3(x－1)或y＋＝(x＋)．

842即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. [课堂小结] 1．求切线方程的一般方法，可分为两步：(1)求出函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)；

(2)利用直线的点斜式，得切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

2．求切线方程，首先要判断所给的点是否在曲线上．若在曲线上，可用求切线方程的步骤求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程．

3．根据导数的几何意义，可以由曲线上某一点处的切线的倾斜程度判断在该点附近的升降情况．

[当堂检测] 1．已知曲线y＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为(

)A．4

C．8

B．16

D．2 [来源学科网ZXXK]

22＋Δx2－8Δy解析：由于y′|x＝2＝lim

＝lim

＝8，由导数几何意义知A处的切线斜率k＝f′ΔxΔxΔx→0Δx→0(2)＝8. 答案：C

2．下列说法正确的是(

) A．曲线的切线和曲线有且只有一个交点

B．过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点

C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线

D．若y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)不一定存在

解析：曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其它的公共点，故A、B错误；f′(x0)不存在，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))的切线也可能存在，此时切线方程为x＝x0，故C错误．

答案：D

173．曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的倾斜角为(

) 33A．30°

C．135°

B．45°

D．60°

111Δy1解析：Δy＝(－1＋Δx)3－2－[×(－1)3－2]＝Δx－(Δx)2＋(Δx)3，＝1－Δx＋(Δx)2，

333Δx3∴lim

Δx→0Δy1＝lim[1－Δx＋(Δx)2]＝1，

Δx3Δx→017故曲线y＝x3－2在点(－1，－)处切线的斜率是1，倾斜角为45°. 33答案：B

4．已知函数f(x)在点(3,4)处的切线与直线4x－y－3＝0垂直，则y′|x＝3等于________．

1解析：因为4x－y－3＝0的斜率为4，所以由导数的几何意义可知y′|x＝3＝－. 41答案：－

4115．曲线y＝在点(，1)处的切线方程为________．

2x21－112＋Δx2×221Δy解析：y′|x＝＝lim

＝lim

＝

2ΔxΔxΔx→0Δx→01lim

Δx→0－2＝－1＋2·Δx12，即曲线在点(，1)处的切线的斜率k＝－2.于是切线方程为y－1＝－2(x21－)，即2x＋y－2＝0. 2