3.4 生活中的优化问题举例第二课时教学实录

生活中优化问题

台山市华侨中学龙德根高三（2）

课件提纲一、考刚要求二、课题引入三、材料一四、材料二五、课堂练习六、总结及作业七、图片欣赏

考纲要求：会利用导数解决某些实际问题．

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大小值的有力工具.本节我们运用导数,解决一些生活中的优化问题.接下来我们来看一个视频：节能减排视频从视频中我们能得到一个什么样的启示呢？用数学知识怎样解答呢？

材料1:汽油的使用效率何时最高?我们知道,汽油的消耗量w单位:L与汽车的速度v单位:km/h之间有一定关系,汽油的消耗量w是汽车速度v的函数.根据你的生活经验,思考下面两个问题:(1)是不是汽车的速度越快,汽油的消耗量越大?(2) “汽油的使用效率最高”的含义是什么?现实生活中,当汽车行驶路程一定时,我们希望汽油的使用效率最高,即每千米路程的汽油消耗量最少或每升汽油能够使汽车行驶最长路程.这就需要考虑如何提高汽油的使用效率,使汽油使用效率最高.

研究汽油的使用效率单位:L/km就是研究汽油消耗量与汽车行驶路程的比值.如果用G表示w每千米平均的汽油消耗量,那么G,其中,ws表示汽油消耗量单位:L,s表示汽车行驶的路程单位:km.这样,求"每千米路程的汽车消耗量最少",就是求G的最小值问题.解决"优化问题"的途径之一是通过搜集大量的统计数据,并对数据进行整理和分析,建立与其相应的函数模型;再通过研究相应函数的性质,提出优化方案,使问题得到解决.在这个过程中,导数往往是一个有力的工具.

通过大量的统计数据,并15对数据进行分析、研究,10人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗5vkm/h率g(即每小时的汽油消30506090120o耗量,单位：L/h)与汽车图1.41行驶的平均速度v(单位:km/h)之间有如图1.41所示的函数关系gfv.那么,我们如何根据这个图象中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题呢?

gL/h从图象中我们不能直接解决汽油使用效率最高问题.因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消耗率g(即每小时的汽油消耗量,单位:L/h)与gL/h15105vkm/ho30506090120图1.41汽车行驶的平均速度v之间关系的问题,然后利用图象中的数据信息,解决汽油使用效率最高的问题.如图1.41,函数gfv最小值的意义是什么?它是否表示在此点处汽油的使用效率最高?

WW/t15.SS/tgL/km斜率g10v这样,问题就转化为求的vg5g最小值.从图象上看,表示vkm/hv30506090120ov什么?图1.42g从图1.42可以看出,表示经过原点与曲线上点vv,g的直线的斜率.继续观察图象,我们可以发现,解因为GgL/h当直线与曲线相切时,其斜率最小.在此切点处速度约为90km/h.

因此,当汽车行驶距离一定时,要使汽油的使用效率最高,即每千米的汽油消耗量最少,此时的车速约为90km/h.从数值上看,每千米的汽油消耗量就是图1.42中切线的斜率,即f'90,约为L.

材料2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？如：汇源百分百果汁1升的是10.5元，600毫升的是7.5元

背景知识某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8πr2分,其中r是瓶子的半径,单位是厘米.已知每出售1mL的饮料,制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子最大半径为6cm.问题1瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?2瓶子半径多大时,每瓶饮料利润最小?

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是令当43yf(r)0.2r0.8r233r0.8(r2),0r≤63f'(r)0.8(r22r)0r2时,

f'(r)0当r(0,2)时,f'(r)0

当r(2,6)时,f'(r)0

当半径r＞２时，f’(r)>0它表示f(r) 单调递增，即半径越大，利润越高；当半径r＜２时，f’(r)<0 它表示f(r) 单调递减，即半径越大，利润越低．1.半径为２cm 时，利润最小，这时f(2)0表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值２．半径为６cm时，利润最大

y从图中，你还能看出什么吗？r3f(r)0.8(r2)3o23r从图中可以看出:1、当半径为2cm时,利润最小,这时f(2)<0,2、当半径为6cm时，利润最大。

思考：市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些（如半斤装的白酒比一斤装的白酒平均价格要高），在数学上有什么道理？将包装盒捏成球状，因为小包装的半径小，其利润低，生产商就提高销售价格来平衡与大包装的利润.

课堂练习:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它的高与底半径,使得所用材料最省?解设圆柱的高为h,底面半径为R.则表面积为S(R)=2πRh+2πR2.又V=πR2h(定值),则hhV22VS(R)2R2R2R2.2RR由S(R)2V4R0.解得R2R3V.2RR从而hVV32R22V.2即h=2R.可以判断S(R)只有一个极值点,且是最小值点.答罐高与底的直径相等时, 所用材料最省.

回顾总结及作业1利用导数解决优化问题的基本思路：优化问题用函数表示的数学问题优化问题的答案用导数解决数学问题2、本节课我们知道了能源利用，使之达到最高效益。从而环境也得到保护。3、作业大思路：考点自测

只有一个地球让我们一起爱护她谢谢！图片欣赏