1.4.2 存在量词优秀教学设计范文

全称量词与存在量词

在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城．我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸．我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人．可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸．

这就是著名的“罗素理发师悖论”问题．

问题1：文中理发师说：“我将给所有的不给自己刮脸的人刮脸”．对“所有的”这一词语，你还能用其他词语代替吗？

提示：任意一个，全部，每个．

问题2：上述词语都有什么含义？

提示：表示某个范围内的整体或全部．

全称量词与全称命题

(1)“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．

(2)含有全称量词的命题，叫作全称命题.

观察语句①②：

①存在一个x∈R，使3x＋1＝5；

②至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．

问题1：①②是命题吗？若是命题，判断其真假．

提示：是，都为真命题．

问题2：①②中的“存在一个”、“至少有一个”有什么含义？

提示：表示总体中“个别”或“一部分”．

问题3：你能写出一些与问题2中具有相同意义的词语吗？

提示：某些，有的，有些．

存在量词与特称命题

(1)“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．

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(2)含有存在量词的命题，叫作特称命题.

观察下列命题：

①被7整除的整数是奇数；

②有的函数是偶函数；

③至少有一个三角形没有外接圆．

问题1：命题①的否定：“被7整除的整数不是奇数”对吗？

提示：不对，命题①是省略了量词“所有”的全称命题，其否定应为“存在被7整除的整数不都是奇数”．

问题2：命题②的否定：“有的函数不是偶函数”对吗？

提示：不对，应为每一个函数都不是偶函数．

问题3：判断命题③的否定的真假．

提示：命题③的否定：所有的三角形都有外接圆，是真命题．

全称命题与特称命题的否定

全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

1．判断一个命题是全称命题还是特称命题时，首先要分析命题中含有的量词，含有全称量词的是全称命题，含有存在量词的是特称命题．

2．要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例即可，实际上就是说明这个全称命题的否定是正确的；要说明一个特称命题是错误的，就要说明所有的对象都不满足这一性质，即说明这个特称命题的否定是正确的．

[例1] 判断下列命题哪些是全称命题，哪些是特称命题．

(1)对任意x∈R，x>0；

(2)有些无理数的平方也是无理数；

(3)正四面体的各面都是正三角形；

(4)存在x＝1，使方程x＋x－2＝0；

(5)对任意x∈{x|x>－1},3x＋4>0成立；

(6)存在a＝1且b＝2，使a＋b＝3成立．

[思路点拨] 先观察命题中所含的量词，根据量词的意义来判断命题的类别．不含量词的命题要注意结合命题的语境进行分析．

[一点通]

判断一个命题是全称命题还是特称命题时，需要注意以下两点：

(1)若命题中含有量词则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词；

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(2)若命题中不含有量词，则要根据命题的实际意义进行判断．

1．下列命题为特称命题的是(

) A．奇函数的图像关于原点对称

B．正四棱柱都是平行六面体

C．棱锥仅有一个底面

D．存在大于等于3的实数x，使x－2x－3≥0

解析：A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D. 答案：D 2．下列命题中，全称命题的个数是(

) ①任意一个自然数都是正整数；

②所有的素数都是奇数；

③有的等差数列也是等比数列；

④三角形的内角和是180°.

A．0个

C．2个 B．1个

D．3个

2[例2] 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断其真假．

(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；

(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；

(3)对任意实数x1，x2，若x1

(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．

[思路点拨] 本题可由命题中所含量词的特点或命题的语境判断命题的类别，再结合相关知识判断真假．

[一点通]

1．要判断一个全称命题是真命题，必须对限定条件中的每一个元素x，验证命题成立．而要判断它是假命题，只要能举出限定条件中的一个x，使命题不成立即可．

2．要判断一个特称命题是真命题，只要在限定条件中，至少能找到一个x，使命题成立即可，否则这一特称命题就是假命题．

3．下列命题的假命题是(

) A．有些不相似的三角形面积相等

B．存在一个实数x，使x＋x＋1≤0

C．存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大

D．有一个实数的倒数是它本身

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4．判断下列命题的真假，并说明理由：

12(1)对任意x∈R，都有x－x＋1＞成立；

2(2)存在实数α，β，使cos(α－β)＝cos α－cos β成立；

(3)对任意x，y∈N，都有(x－y)∈N；

(4)存在x，y∈Z，使2x＋y＝3成立．

[例3] 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定．

(1)三角形的内角和为180°；

(2)每个二次函数的图像都开口向下；

(3)有些实数的绝对值是正数；

(4)某些平行四边形是菱形．

[思路点拨] 先判断是全称命题还是特称命题，再对命题否定．

[一点通]

1．全称命题的否定为特称命题，特称命题的否定为全称命题．

2．写全称(特称)命题的否定时，先把全称(存在)量词改为存在(全称)量词，然后再否定结论．

5．(湖北高考)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(

) A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

7．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出其否定形式．

(1)对数函数都是单调函数；

(2)至少有一个整数能被2整除且能被5整除；

(3)存在x∈R，使log2x＞0成立；

(4)对任意m∈Z，都有m－3＞0成立．

1．判断命题是全称命题还是特称命题主要是看命题中含有的量词．有些命题没有明显的量词或省略了量词，可以根据命题的实际含义作出判断．

2．对含有一个量词的命题的否定要注意以下几个问题：

(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题；

(2)改变量词；

(3)否定结论；

(4)无量词的全称命题要先补上量词再否定．

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