3.4 生活中的优化问题举例教学设计及课堂实录

3.4生活中的优化问题举例

一、教学目标：

1.通过一些日常实例的学习，掌握利用导数解决日常生活中的优化问题（用料最省，利润最大等）的一般方法。

2.掌握数学建模思想，会用导数知识解决实际问题。

二、重难点：

1.重点：用料最省，利润最大等优化问题的求解。

2.难点：将生活中的实际问题转化为数学问题，培养学生的数学建模能力。

三、学情分析：

通过前面的学习，学生已知掌握求函数最值得方法，但学生对实际应用问题感觉困难，检查出现审题不够仔细，考虑不够全面，不能很好地将实际问题转化成数学问题。因此，本解将重点培养学生的数学建模能力。本节课通过观察、实验、感知、抽象、归纳。采用启发诱导、讲练结合的教学方法和合作学习的学习方法，以学生为主体，从实际问题出发，放手让学生探究思索、独立思考，集体讨论，以现代信息技术多媒体课件作为教学辅助手段。

四．教学过程

（一）复习引入：大家回顾一下如何利用导数求函数的最值？

设计意图：让学生通过回顾学过的知识，再次明确利用导数求函数的最值得步骤，为本节课做好知识准备。

明确：第一步：求函数的定义域;

第二步：求函数的导函数；

第三步：求函数的在定义域区间内的极值；

第四步：求端点值，确定最值。

(二)知识背景：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。

（三）问题1：面积、体积的最值问题

设计意图：从学生身边的事物出发，引发学生的兴趣，让学生自己动脑，动手，按照要求做出模型，然后同学之间进行分享、比对、分组讨论，这样能让学生更深刻的理解版心的变化对海报设计的影响。

引入：展示班上同学出的黑板报，海报，引入海报版心尺寸的设计问题。为了能让同学们更好的理解版心的变化和海报的尺寸的关系。先让学生按照例题的提供的尺寸用1:10的比例尺，做出符合要求的版心和海报（版心和海报用不同颜色的纸），并标出版心和海报各自的高、宽和面积。

例题1：海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动吗？通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图3.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上下两边各空2dm，左右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？

请同学们拿出自己做好的海报模型，和同学分享一下，做出来的模型

会不会一样？大家分小组讨论一下下面两个问题，然后请小组代表来回答。

思考1：版心面积为定值128dm2，海报的面积是否也为定值？

(明确：版心的面积为定值，但是高，宽不断变化，所以海报的高、宽也随之变化，海报的面积也在变化。而且一旦版心的高确定，海报的面积也随之确定。) 思考2：设版心的高为xdm，则海报的面积为多少？

海报四周空白的面积为多少？

128dm x128则海报的高为（x+4）dm,宽为（+2）dm x1282)

因此，海报的面积为(x4)(x1282)128

海报四周空白面积为(x4)(x128解:设版心的高为xdm,则版心的宽为dm,此时四周空白面积为

x128S(x)(x4)(2)128

x5122x8,x0

x512'

求导数,得S(x)2

x2512'解得：x16，x16（舍）

令：S(x)220x分析：设版心的高为xdm,则宽为

当x(0,16)时,S(x)0,

当x(16,)时,S(x)0,它表示S（x）单调递减；它表示S（x）单调递增。值点。

因此，x16是函数S(x)的极小值点，也是最小

所以，当版心高为16dm，宽为1288dm时，能使四周空白面积最小。16例题小结：利用导数解决优化问题的基本思路：

跟踪训练1. 设计意图：通过例题1的学生，学生基本掌握求面积最值得问题，让学生自己体验一下，如何求体积最大的问题。

在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方底箱子,箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 分析：借助模型帮助学生理解题意，理清题目中的条件和结论，弄清楚量与量之间的关系。 让学生分组讨论：如何假设未知量，列出关系式，转化为数学问题，利用数学知识解决问题。

60xcm260x得箱子容积为V(x)x2hx2,(0x60)21即V(x)30x2x3（,0x60)23x2V(x)60x2令V（x)0,解得x0(舍去）,或x40.请学生代表，把解题过程书写在黑板上。

xcm，则箱高h

解：设箱底边长为

当x(0,40)时，V(x)0,函数V(x)单调递增；

当x(40,60)时，V(x)0,函数V(x)单调递减。

当x40时，V(x)取得极大值V(x)4021016000，也是最大值。

答：当箱子边长是40cm时，箱子的容积最大，最大容积16000cm3问题2：

利润最大问题

设计意图：从学生所熟悉的品牌饮料入手，先让学生从买家的角度出发，考虑买那种包装的饮料比较合算。分析后，让学生从卖家的角度出发，应该怎样考虑，能使得饮料公司赚得更多（利润最大）。

(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？

问：大家看一下，我找了商场同一品牌的不同包装的饮料。假如，我们要去买饮料，哪一种包装更合算？请同学回答。

明确：计算每升多少钱，显然第一种最合算。

规格（L）

价格（元）

2 6 1.25 4.5 0.6 2.5

(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

回答：不是的，因为饮料公司的利润=收入-成本

例2

某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径，已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm.

(1)瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

(2)瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？

分析：瓶子是球形的，瓶子的容积就是球的体积V=r3，因此收入多少？成本是0.8

r2，那么每瓶饮料的利润多少呢？

解：由于瓶子的半径为rcm，所以每瓶饮料的利润是

yf(r)0.24r30.8r233r

f(r)0.8(r2),(0r6)3

f(r)0.8(r22r)43令0,或r2

f(r)0,解得r（舍去）

当r（0，2）时，f(r)0,f(r)单调递减;当r2,6时，f(r)0,f(r)单调递增。因此，当半径为2cm时，利润最小；

当半径为６cm时，利润最大。

探究：换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

yr2fr0.8πr323o3 图3.4-2

从图像上容易看出，当r=3时，f(3)=0,即瓶子半径是3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r>3时，利润才为正值。

跟踪训练2.（课本P105第一题）

设计意图：进一步检查学生在讲练之后，对最优化问题的掌握情况。

房价应定为多少？

某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满；房间单价每增加10元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费20元的各种维护费用，房间定价多少时，宾馆利润最大？

设房间定价为元时，宾馆利润为元，

则(注释：根据，令当时，；当求得x的取值范围) ，解得，，

，

∴房间定价为350元时，宾馆利润最大。

答：当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大。

五、小结：

设计意图：通过反思、归纳，培养概括能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平，让学生在以后的学习和应用当中有章可循，提高学生数学建模的能力。

解决优化问题的一般步骤：

(1)审题：分清条件和结论，找出问题的主要关系；

(2)建模：利用数学知识，建立相应的数学模型；

(3)解模：选择合适的数学方法求解； （4)验证：对结果进行验证，确定其答案。

注意：实际应用中，准确地列出函数解析式并确定函数的定义域是关键。

六、作业布置：

课本P104 习题3.4 第1题；第3题；第6题.